从数学分析的课本讲起吧.
复旦自己的课本应该可以从
六十年代上海科技出的算起
(指正式出版),那本书在香港
等地翻印后反应据说非常好,
似乎丘成桐先生做学生的时候
也曾收益与此.
到90年代市面上还能看到的课本
里面,有一套陈传璋先生等编的,
可能就是上面的书的新版,交大的
试点班有几年就拿该书做教材.
另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生
的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的
课本,好象后来数学系不用了,
计算机系倒还在用.那本书里面
据说积分的第二中值定理的陈述
有点小错.
总的说来,这些书里面都可以看到
一本书的影子,就是
菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",
其原因,按照秦老师的说法,是最初
在搞教材建设的时候,北大选的"模本"
是辛钦的"数学分析简明教程",
而复旦则选了"数学分析原理".
后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的
那本数学分析.我不否认那是一种尝试,
但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点
来看数学分析这样经典的内容在国际上
的确是一种潮流,但是从这个意义上说
该书做得并不是非常好.而且从整体的
课程体系上说,在后面有实变函数这样
一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue
积分值得商榷.
下面开始讲一些课本,或者说参考书:
1.菲赫今哥尔茨
"微积分学教程","数学分析原理".
前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;
后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.
此书堪称经典.
"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者
列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括
后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)
都承认不太合适作为教材,为此他才给出了
能够做教材的后一套书,可以说是一个
精简的版本(有所补充的是在最后给出了
一个后续课程的简介).
相信直到今天,很多老师在开课的时候
还是会去找"微积分学教程",因为里面
的各种各样的例题实在太多了.如果想
比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的
例题当做有答案的习题来做,当然不是每道
题都可以这么办的.如果你全部做完了
那里的题目然后考试的时候碰到你做过的
可别怪我.
毫无疑问,这套书代表了以古典的方式
处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)
的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万
计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.
这两套书在理图里面都有.
2.Apostol
"Mathematical Analysis"
在西方(西欧和美国),这应该算得上是
一本相当完整的课本了,在总书库里面
有.
3.W.Rudin
"Principles of Mathematical Analysis"
(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)
这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,
这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,
(指一些符号,术语的运用)也是很好的.
这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是
后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",
虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里
想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的
ddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以
找一本西方advanced calculus水平的书来看,
基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师
曾特别指出Rudin的书.
说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是
可以一看的,就是
L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,
其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图
外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.
这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的
课本.
4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等
"数学分析习题集","数学分析习题课教材".
北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西
还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇
并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题
(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的
习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,
原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数
收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就
要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也
是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,
96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了.
5.克莱鲍尔"数学分析"
记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.
理图里有.
6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,
张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多
五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的
是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都
云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的
处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的
遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根
本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.
理图里有.
下面的一些书可能是比较"新颖"的.
7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"
理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于
80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,
人家是苏联科学院院士.
7b."数学分析"
忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.
理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限
的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉
到观点非常的"高".
8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"
那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,
用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再
回过头来看感觉会更好一些.
9.说两句关于非数学专业的高等数学.
这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.
因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,
中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不
分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有
J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫
"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),
其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课
之间.
10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,
一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫
"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,
其详细讨论,似乎仅见于
鲁金(Lusin)的"实变函数论"
里面,总书库里面有.
11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷
这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初
华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时
的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授
负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实
是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一
届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于
一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统
教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.
理图里有.
12.何琛,史济怀,徐森林
"数学分析"
这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,
我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分
就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.
印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以
放在最后.
空间解析几何实在是一门太经典,
或者说古典的课.从教学内容上说,
可以认为它描述的主要是三维欧氏
空间里面的一些基本常识,包括最
基本的线性变换(那是线性代数的特例),
和二阶曲面的不变量理论.在现行
的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的
"空间解析几何"里面,最后还有一章讲
射影几何.
这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.
特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影
的内容还不是很好念的.
当然,这里还要提到十来年前大概
做过教材的一本书:
项武义,潘养廉等
"古典几何学".
这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是
很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.
可以考虑的参考书包括:
1.陈(受鸟)
"空间解析几何学"
内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.
陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)
的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
2.朱鼎勋
"解析几何学"
这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,
连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面
的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).
朱先生相当有才华,可惜英年早逝.
关于数学分析的习题,还有一本书,就是
G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
"数学分析中的问题和定理"
在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的
前面一半,后面就全是复变的东西了.
该书的内容还是非常丰富的.
在历史上,这是一套曾经使好几代数学家
都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是
题目难归难,后面还是有答案或提示的.
"微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,
到总书库里面去看看吧!
Loomis-Sternberg的书的书号是O172 L863
如果想了解比较"新"的动态,可以考虑
3.Postnikov
"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)
这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看
出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的
学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早
是要给吃到线性代数里面去的.
海外教材中心有一本英文本.
我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早
是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最
糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.
我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要
下放到高中里面去.
上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.
可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多
几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有
相当深刻的了解.
4.狄隆涅
"(解析)几何学"
这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年
前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能
写的.总书库里面有.
5.穆斯海里什维利
"解析几何学教程"
这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.
具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点
和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的
而已).
高等代数可以认为处理的是有限维
线性空间的理论.如果严格一点,
关于线性空间的理论应该叫线性代数,
再加上一点多项式理论(就是可以完完
全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.
这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,
就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国
教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的
Higher Algebra.
现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).
用外校的课本在基础课里面是不常见的.
这本书可以说是四平八稳,基本上该讲
的都讲了.但是你要说它有什么地方讲
的特别好,恐怕说不出来.
值得注意的是95-96学年度,北大现在的
校党委组织部长王杰老师(段学复先生
的弟子)给北大数学科学学院95级1班
开课时曾经写过一本补充材料,把空
间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到
的话翻印出来是件很好的事情(我的那
本舒五昌老师给96开课的时候送给他
了,估计是找不到了).
好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的
还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.
从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.
线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在
定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一
个矩阵的表示.因此这门课的确是可以
建立在矩阵论上的.
而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.
复旦以前有两本课本就是这么做的.
1.蒋尔雄,吴景琨等
"线性代数"
这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比
数学专业相应的课程要高的.
因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.
我个人以为还是比较有意思的.理图里有.
2.屠伯埙等
"高等代数"
这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里
讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里
可能可以买到翻印的.
这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量
习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面
的习题做完对于理解矩阵的
各种各样的性质是非常有益的.
当然这不是很容易的:
据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁
开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话
可以来找我."有此可见一斑.
如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,
那么下面这本应该说是比较适当的.
3.屠伯埙等
"线性代数-方法导引"
这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也
更"实际"一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到
4.甘特玛赫尔"矩阵论"
我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者
是柯召先生.
在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳
入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan
标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩
阵该怎么求?请看"矩阵论".
这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
总书库里有.
图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.
5.许以超
"线性代数和矩阵论"
虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国
念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,
现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还
是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于
空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
6.华罗庚
"高等数学引论"
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在
矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你
只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.
可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的
(不记得是不是在这本书里面了):
n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个
把一组标准基映到1的反对称线性函数.
这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
7.贾柯勃逊(N.Jacobson)
Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra
GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31
("抽象代数学"第二卷:线性代数)
这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面
已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.
此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.
8.Greub
Linear Algebra(GTM23)
这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是
值得一读的.
还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
9.丘维声
"高等代数"(上,下)
北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向
没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些
几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.
10.李炯生,查建国
"线性代数"
这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些
内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
从常微分方程开始,数学课就变成
没底的东西,每一个标题做下去都
是数学研究里面庞大的一块.
对于一门基本课程应该讲些
什么也始终讨论不断.
这里我打算还是从现行课本讲起.
常微分方程这门课,金福临先生
和李迅经先生在六十年代写过
一本课本,后来在八十年代由
控制那一块的老师们修订了
一下,变成第二版,就是现在常用的课本.
上海科技出版社出版.
应该说,金先生他们的第一版在今天
看来还是很好的一本课本(这本书估计
受了下面的一本参考书
的不小的影响), 该书在理图老分类的
那一块里有.
但是第二版有那么点不敢恭维.
不知为什么,似乎这本书对具体
方程的求解特别感兴趣,对于一
些比较"现代"的观点,比如定性的
讨论等等相当地不重视.最有那么
点好笑的是在某个例子中(好象是
介绍Green函数方法的),在解完了之
后话锋一转,说"这个题其实按下面
的办法解更简单..."
而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.
下面开始说参考书,毫无疑问,
我们还是得从我们强大的北方
邻国说起.
1.彼得罗夫斯基
"常微分方程讲义"
在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长
占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他
在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生
去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.
他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年
的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就
利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了
一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做
到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个
天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.
他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能
和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术
官僚作风,讲法不是非常活泼.
2.庞特里亚金
"常微分方程"
庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故
双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人
的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给
后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",
你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投
下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.
此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的
影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字
不感冒的话绝对值得一读.
现代数学的一大特色即是已经
完全建立了一套自己的表达方式.
没有一个学科象数学这样创造了
这么多的概念.
现代数学的传播的一大困难也在
与此,要向一个非本行(哪怕是
数学里另外一个分支的专家)解释
清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌.
但在另外一方面数学是如此有用,
而且数学的抽象性使得一个数学
观点往往可以表征其它学科的许多
看似毫无关系的对象.所以现代数学
还是挺值得一学的.
自学不是一件容易的事情,特别是自学数学.
从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系
的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己
找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面,
以前上海科技出版社出过一套
1."大学数学自学丛书"
应当说编得是不错的.
至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考
2.赵慈庚,朱鼎勋
"大学数学自学指南"
赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上
以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书.
关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明.
好象是高等教育出的.
下面转到欧美方面,
3.Coddington & Levinson
"Theory of Ordinary Differnetial Equations"
这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,
数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看
着办吧.
比较"现代"的表述有
4.Hirsh & Smale
"Differential Equations ,Linear Algebra and
Dynamical Systems"
(中译本"微分方程,线性代数和动力系统"
这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,
非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.
关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港
城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他
为在中国领土上工作的最重要的数学家应该
没有什么疑问.
图书馆里有中译本.
5.Arnol'd
"常微分方程"
必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,
他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材
以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把
相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我
也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常
喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候
就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相
教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,
Arnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见
互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何
化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd
对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话
说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生
们都是这么说的.
这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,
竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.
再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."
的,程度要深得多.
看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人
自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.
6.丁同仁,李承治
"常微分方程教程"
这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,
观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,
袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.
附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,
里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.
再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看
7.卡姆克(Kamke)
常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,
理图里有.
对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是
和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,
现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.
我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学
物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.
事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解
这些特殊函数系的"完备性",象
8.Courant-Hilbert
"数学物理方法"第一卷
可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来
并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点
可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数
一个方法学起来更容易一些.
而且,
9.王竹溪,郭敦仁
"特殊函数概论"
的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质
了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去
查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,
看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:
"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的
'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架
上,...经常在里面寻找我需要的结论..."
连他老先生都如此,何况我们?
上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室
有一本.
单复变函数论从它诞生之日
(1811年的某天Gauss给Bessel写
了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数
一样的地位..."就成为数学的核心,
上个世纪的大师们基本上都在这一领域里
留下了一些东西,因此数学的这个分支
在本世纪初的时候已经基本上成形了.
到那时为止的成果基本上都是学数学的学生
必修的东西.
复旦现在这门课是张锦豪老师教.
张老师是做多复变的.毫无疑问,
多复变在二十世纪的数学里也
占有相当重要的地位,不仅它自身的
内容非常丰富,在其它分支中的应用也
是相当多的--举个例子就是Penrose的
Spinor理论,基本上就是一个复分析的
问题.这就扯远了,就此打住.
张老师用的是他自己的讲义,那
书要到今年夏天才能印出来.所以
还是这两年上过这门课的ddmm来
谈谈感受比较好.
现在具体的情况我不是很清楚,复旦
以前有一本
1.范莉莉,何成奇
"复变函数论"
这是上海科技出版的那套书里面的复变.
今天回过头来看,这本书讲的东西也不是
很难,包括那些数量很不少的习题.
但是做为第一次
学的课本,应当说还不是很容易的.
总的说来,从书的序言里面列的参考书目
就可以看出两位先生是借鉴了不少国际
上的先进课本的.
不知道数学系的学生还发这本书吗?
如果要列参考书的话,单复变的课本
真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:
2.普里瓦洛夫
"复变函数(论)引论"
这是我们的老师辈做学生的时候的标准
课本.内容翔实,具有传统的苏联标准
课本的一切特征.听说过这么一个小故事:
普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次
期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,
无论是从教师还是从学生的角度来说),
有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝
般地问了一句"sin z有界无界?"此人
稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上
被开回去了,实在是不幸之至.
这书不在理图就在总书库里面.
3.马库雪维奇
"解析函数论(教程?)"
这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.
它比上面这本要深不少.张老师说过,
以前学复变的学生用2.做课本,学完
后再看3.,然后就可以开始做研究了.
这本书的一个毛病是它喜欢用自己的
一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程
它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert
吧!
再说点西方的:
4.L.Alfors(阿尔福斯)
"Complex Analysis(复分析)"
这应该是用英语写的最经典的复分析教材.
Alfors是本世纪最重要的数学家之一
(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的
人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.
他的这本课本从六十年代出第一版
开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,
理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)
记不清了,建议还是看英文的.
这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位
代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy
--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass
--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的
课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理
可以说是相当好的.
5.H.Cartan(亨利.嘉当)
"解析函数论引论"
这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物
在二十世纪复分析的发展史上也占有很重
要的地位.他在多复变领域的很多工作是
开创性的.这本课本内容不是很深,从处理
方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作
(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))
6.J.B.Conway
"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)
"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159)
(GTM=Graduate Mathematics Texts,
是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)
第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写
了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.
这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,
对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西
要到第二卷里面才能看到.
7.K.Kodaira(小平邦彦)
"An Introduction to Complex Analysis"
这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课
是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,
也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的
基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室
有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误
相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.
由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,
因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"
我就找不出什么错.
偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合
写的。应该是不错的， 习题较多。
科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。
其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。
人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题
9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
"数学分析中的问题和定理"
第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的
习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点
太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少
体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都
有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以
独立做出来的.
10."解析函数论习题集"
实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字
忘了,这本书里面的题目相当多.
理图里面有,系资料室有一本英文的.
其它的书我认为可以翻翻的包括
11.张南岳,陈怀惠
"复变函数论选讲"
这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和
上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.
从内容上来看,
第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"
都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.
看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"
(这部分内容在6.里面也有),然后去看
12.J.-P. Serre(塞尔)
"A course of Arithmetics"(数论教程)
第二部分的十来页东西就可以理解下述
Dirichlet定理的证明了:
"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"
Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,
代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还
没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.
在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,
理图里面还有
13.庄圻泰,何育瓒等
"复变函数论(专题?)选讲"
差不多的题目应该有两本,一本肯定理图
里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的
同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一
本记忆中就觉得太专门了点.
除此之外,讲单复变的还有两本书,
不过可能第一遍学的时候不是很适合看.
图书馆里面都有.
14.W.Rudin
"Real and Complex Analysis"
必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把
对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西
都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础
是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面
你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)
才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候
再谈吧!
15.L.Hormander
"An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"
这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.
他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是
微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,
可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会
有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy
积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu
公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的
书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道
这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些
奇异积分.
16.Titchmarch
"函数论"
这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,
看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.
除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的
传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程
几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."
关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要
影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!
17.戈鲁辛
"复变函数几何理论"
这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.
作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得
最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.
总书库里面应该有,标题可能略有出入.
最后讲一本书,不知道复旦有没有:
17. R.Remmert
"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)
Remmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,
其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的
来龙去脉交代的异常清楚.
12.的作者J.-P. Serre成为第五位
既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.
(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)
这门课没读过,不过如果现在的课本还是
1.I.Tomescu
"组合学引论"
的话,倒还是想说两句的.
首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.
其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案
(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,
就该知道这些结果不是那么平凡的了)
作为补充,可以考虑
2.I.Tomescu
"Problem in graph theory and combinatorics(???)"
这本书有比较详细的提示和解答,
里面的题目也非常好,
高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍
(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).
不过复旦是不是有我不是最清楚.
但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面
有很多:
3.Lovasz
"Problems in Combinatorics(?)"
这是本相当好的习题集,作者Lovasz是
唯一一个得过wolf奖的组合学家.
唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大
了点,不过千万不要被吓倒!
(这里应当声明,已经快五年没好好看
过组合书了,所以脑子里面的印象难免有所
偏差,还望大家原谅)
有一些书是讲图论的,其中比较好的书大概
可以算
4.Bondy,Murty
"Graph Theory and Applications(?)"
(中译本:图论及其应用,科学出版社,理图里有)
这本书内容翔实,写得很容易读,
而且有许多难度适当的习题,
注意这些习题不仅在书后(好象)
有简短的提示,而且在图书馆里面
还有一本
5."图论及其应用"习题解答
做得还算不错吧.
翻译成中文的书里面,
还有上海科技出版的
6.Harary(哈拉里)
"Graph Theory"(图论)
这本书里面的习题基本上都是从
人家的论文里面直接找来的,所以
有相当难度,虽说那里给出了非常
详细的文献来源,但是有些还是
很不好找的.这本书其实已经有
点专著的味道了.
讲到图论,还有象
7.B. Bollobas
"Graph Theory"(GTM 63)
这本书世界图书刚刚重印,
市面上应该还能见到不少.
Bollobas现在是在剑桥吧,
国际数学家大会上也是做过
45分钟报告的.
(作为参照,改革开放
以来,从大陆出去做过45
分钟报告的好象才两个人
--在国外工作的加上去
也不到十个吧)
8.G.Chartrand,L. Lesniak
"Graph and Digraphs"
是本好书,浅显易懂.
此外还有
9.C. Berger
"Graph and Hypergraph"
是这里的框架性著作,
至少在外国教材中心里面
有一本.
还有一些不讲或不专讲图论的组合书,
中文的有
10.李乔
"组合数学基础"
我们的这位校友(华宣积老师的
同学)文革期间在中科大吃过很
多苦头,现在在上海交大.他这本书
写得很不错,不过一个小小的遗憾,
就是这书的书脊上印的是"组合
数学础基".
11.I. Anderson
"Combinatorics of Finite Sets"
12.Bollobas
"Combinatorics"
这两本书国内影印过,所以我想总书库里面
会有.
理图里面还能找到一本薄得要死
的名著
13.Ryser(赖瑟)
"组合数学"
这里面记得有一些讲组合设计
的章节还是很简单明了的.
至于象
14.魏万迪
"组合论"
这书感觉好象篇幅太大了点,
而且你很快就会发现其实这书
很不好看.
着重算法的书很多就是计算机类的了,
比如
15.朱洪等
"算法设计和分析"
16.卢开澄
"组合数学--算法与分析"
印象中该书第一版是上下两册,
第二版就只剩下一半篇幅了,
没有很仔细得比较过前后两版,
所以也说不出究竟变了点什么.
组合数学有不少书是可以看着玩的,
比如外国教材中心里面有一本书
好象叫"Graph theory from Euler
to Konig"(等于就是说讲现代图论
的史前史),等等.
如果要求不是很高,那么下面的书
可能可以算篇幅不大,内容不深,
但多少也讲了些东西的:
17.I. Anderson
"A First Course in COmbinatorial Mathematics"
18.C.Berger
"组合学原理"(上海科技)
19.C.L.Liu(刘炯朗,现新竹清华大学校长)
"组合学引论"
这书是魏万迪翻的,就是印刷质量差了点.
其它都还好,在北美的评价也不错.
此外,最近刚刚看到出了一本
20.Lovasz,et al.(ed.)
"Handbook of Combinatorics"
厚厚的两大本,里面有很多人的文章,
算得上是包罗万象了.
组合里面还有一个非常有名的东西
--四色定理,关于它就是是不是被
证明了争论了很多年,当真是仁者见仁,
智者见智.当年的两位主角Appel 和Haken
写过本书,就叫
21.Appel ,Haken
"Every Planar Map is Four Colorable"
如果你觉得这书块头太大,
可以先翻翻他们在
22.Steen(ed.)
"mathematics today"
(中译本:今日数学,上海科技)
里面的一篇通俗的文章,
写得非常的好.
最后补充canetti指出的
23.Reinhard Diestel
"Graph Theory"(GTM173)
这本书里面讲到了概率方法,
这个感觉是一个很有希望的方向,
有很多人在做,包括98年得
Fields奖的T.Gower(这位是靠
Banach空间理论得奖的,但是
他的组合功夫本来就很深,现在好象干脆
就转向组合了)
抽象代数
有的地方管这叫"近世代数",
反正近不近各人自己看着办吧!
从历史上说,可以认为严肃的讨论
是从伽罗华开始的,他在决斗前夜
写下的那封著名的信件(里面有
"你可以公开向Jacobi或者Gauss
提出请求,不是就这些结果的正确性,
而是重要性,给出意见....",现藏
法国国家图书馆).在后来的发展过程
中,代数结构话的语言逐步渗透到
数学的各个角落.到今天这已经是
一门无处不在的分支了.
不止一个老师教导过我们:
在复旦,你们受到的分析训练将是
很多的(充不充分要看各人的要求了),
但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.
现行教材是我的本家写的,
总的说来作为初学还很可以一读,
原因将在下面说明.
北大的课本是
1.丁石孙,聂灵沼
"代数学引论"
这本书的特点和北大的那本高等代数一样,
就是没什么自己的特色,原因是这本书从
体例到习题在很大程度上参考了
2.N.Jacobson
"Basic Algebra I,II"
这书在总书库里面有不少,
理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫
"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.
Jacobson在代数领域也属于权威,
是华先生同时代的人.这本书从观点
上说是相当现代化的,比同作者的那本
3.N. Jacobson
"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)
(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)
要改进不少.
有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去
比较一下.
从习题的角度上说,可以看
4.徐诚浩
"抽象代数--方法导引"
这本书可以说比较适合在复旦学这门课.
可以罗列的参考书还有很多,
综合性的课本有名气很大的
5.S.Lang
"Algebra"
Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过
AMS发的Steel优秀图书奖.
6.莫宗坚
"代数学(上,下)"
北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看
过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书
推崇倍至,认为比1.写得好.
7.熊全淹
"近世代数"
这本书的好坏不敢评论,
不过这本书有个很大的特点,
就是作者收集了很多小文章,
比如许多American Mathematical Monthly
上的短文.依他开列的参考文献到
系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.
其它的就是比较专门的东西了.比如群论
就有影响过无数学者的
6.库洛什
"群论"
注意这本书第二版和第三版中译本的封面
一模一样.
或者段学复先生的导师Robinson写的
7.Robinson
"A course in the theory of Groups"(GTM 80)
再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,
不过我是一窍不通的了.还望这里的高手
多多指点.
对于Galois理论,有一本
8.E.Artin
"伽罗华理论"
非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.
还有
9.Edwards
"Galois Theory"(GTM 101)
这本书很有趣,它是循着Galois的原始
想法写的,因此和一般通行的教本里面的
讲法不是很一样.
这是数学系的学生学到的第一门
完全属于二十世纪的课程.
这门课程的重要性是不言而谕的.
对于这门课程在中国的发展,
许多和复旦有密切关系的前辈都
做出过重要贡献.
在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是
陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的
先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习
现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个
外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生
一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.
即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.
李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和
Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到
"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的
桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在
1."中国现代数学家传"(第二卷)
里面做了一篇传记,不可不读.
陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代
他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
2.陈建功
"实函数论"
今天看来,这里面的内容是相当古典的,
但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.
陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生
包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生
和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串
长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,
龚升,李训经...
前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,
五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,
一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."
那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.
另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有
某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为
实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.
今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,
比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大
图书馆的(见内页题字)
现在用的课本是
3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌
"实变函数论与泛函分析"
第二版,上,下册
这是,在我看来,复旦为中国的数学事业
贡献的最重要的课本.从1978年第一版
出版开始,这就是中国最标准的实变与
泛函课本.受益与此书的学生不可计数.
夏先生是陈先生五十年代初的研究生.
当年陈先生开实分析课的时候夏先生
做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的
要求差不多,不是吗?*_^)
夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.
那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand
又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅
在在苏联的两年间做出了相当好的工作,
而且回国后在复旦建立了一个相当
强的泛函研究小组.具体可以看
4.杨乐,李忠编
"中国数学会六十年"
里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.
六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"
的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国
数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年
的学术地位!
夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.
在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的
是这三样.
我们一章一章来看:
第一章"集和直线上的点集"
这是很美妙的东西,数学系的学生从这里
开始严肃地接受关于无限的教育.
具体的问题是教师一般都要在这一章
上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的
东西学生以前根本没有接触过.我想今后
可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章
的内容,象实数理论和极限论,等价关系,
直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很
多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书
也能看到这些内容.
大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,
在
5.E.Hewitt, K.Stromberg
"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)
里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其
等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice
does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is n
eeded most urgently".这是很有道理的.
这个方向上扩展出去可以看
6.那汤松
"实变函数论"
在下册里面还有关于超限归纳法的描述.
这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈
建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.
徐先生不幸于文革中自杀身亡.
总书库里面有.
另外,对于很多具体的点集的例子,有许多
书可以参考,比如
7.汪林
"实分析中的反例"
这是本非常非常好的书,在以后的几章里面
我们也都要引用这本书.作者是程民德
先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是
一本讲例子的书!理图里有.
和一些习题集和解答,比如
8."实变函数论习题解答"
这是那汤松的书的习题解答.质量一般,
不过好歹是本习题解答吧.
9."实变函数论的定理与习题"
记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.
里面有详细的解答,质量相当高.
第二章"测度"
这是这本书上册的核心.
测度在这里的讲法,
从环上的测度讲到测度的扩展,
基本上属于
10.P.R.Halmos
"Measure Theory"(GTM 18)
(中译本:测度论)
的框架里面.这本书实在不敢
评论,自己看吧!
这本书里面还有一些精选的习题,
有胆子和时间的话值得一做.
集环的理论
一本相当有趣的书可以看看,
就是
11.J.Oxtoby
Measure and Category(GTM2)
这里的"category"不是指代数里面的范畴,
而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西.
现在可以来谈谈
12.周民强
"实变函数"(第二版)
这本书写得不错,总的说来最大的
好处恐怕就是习题很多,
而且都是能做的习题--复旦的课本
里面的习题初学好象是难了点,
特别是在没有答案的情况下
还有一本很好的书,
可惜至今只打过几个照面,
但是可以肯定的是绝对是好书:
13.程民德,邓东皋
"实分析"
我见过这书里面的一个测度的题目:
$m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)
\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,
还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!
此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.
需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分
的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S
的差别还是有用的.
第三章
这就是真正的实分析了.这里面应该说
每一节都是重要的.
在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑
下面的:
14.I.E. Segal, R.A. Kunze
"Integrals and Operators"
和
15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin
"函数论与泛函分析初步"
这些作者应该说都是相当好的数学家了.
比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,
最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的
东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.
最后问个小问题:
"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间"
这句话对吗?
发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics
标 题: 实变函数论与泛函分析(七)
发信站: 日月光华站 (Thu Apr 6 00:05:06 2000), WWW-POST@129.104.34.3
第四章
从这里开始算泛函分析的课了.
不过这一章是不是一定要以这样的
篇幅在这里讲值得讨论.
其实很多度量空间的概念在数学分析
课里面就可以解决掉,在这里应该只要
强调有限维和无限维的差别就可以了.
上面的许多参考书在这里一样可以用,
还应该加上的是:
19.汪林
"泛函分析中的反例"
第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,
整个泛函的体系都可以建立在上面,
理图里面有一本
20.夏道行,杨亚立
"拓扑线性空间"
不过那书基本上是第二作者写的,所以建议
有兴趣的化还是看下面几本
21.N.Bourbaki
"Topological Vector Space"Chpt. 1-5
布尔巴基写书是一章一章出的,
这书能一次就包含五章,实属罕见.
而且估计今后也不会有后续的内容了.
在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能
先建立积分理论再导出测度的.比如下面
将要讲到的
16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙
"泛函分析第二教程"
里面就有一些这方面的内容.
此外还有象
17.夏道行,严绍宗
"实变函数与泛函分析概要(?)"
(上海科技出的那套教材里面的一本,
理图里面有)好象就是按照先积分
再测度的办法讲的.
另外用这一体系的书好象还有
18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy
"泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)
这也是不错的书.
对测度感兴趣的话,还可以看一些
动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)
的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).
GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
22.H.H.Schaefer
Topological Vector Spaces(GTM3)
和
23.J.L. Kelley, I.. Namioka
Linear Topological Spaces(GTM36)
16.里面有一章也是讲这东西的.
其它许多以"泛函分析"为标题的书也是
以此为出发点的,比如
24.S.K. Berberian
"lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)
Berberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"
是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.
或者
25.W. Rudin
"Functional Analysis"
这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov
"Functional Analysis"
(英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)
不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,
这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕
就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,
中译本的质量也很不错.
此外还有
27..J.B. Conway
"A Course in Functional Analysis"(GTM96)
【 在 goliath (朱古力) 的大作中提到: 】
: 不好意思，也许是个傻问题，不过偶还是想问问。
: GTM是什么啊？
这问题不傻,因为在写数学分析,高等代数的时候
就提过,所以这里我就没有重复.
GTM=Graduate Texts in Mathematics
是Springer-Verlag出的一套数学教材丛书,
其中有很多都是人家已经成名的教材它把版权拿过来
重印的,因此有一些还是经典著作.
现在大概出到第200号左右,
前120本世界图书出版公司都是影印的
(早期是完全盗版,后来开始买版权了),
后面的只有部分影印.
老的那些(120号以前)总书库里面
一般都能找到.
第五章
这一章讲述Banach空间上的有界线性
算子理论.这一内容的框架性著作
毫无疑问是
28.Dunford,Schwarz
"Linear Operators"I
这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.
注意有一些结论是可以把Banach空间减弱
为Frechet空间的,不过好象据说实际应用
中除了广义函数空间是个Frechet空间以外
其它用得并不多.
前面列的各中标题是泛函分析的书这里
都可以用.
汪林的书19.里面有许多有趣的例子.
不自反的空间的例子在系资料室
可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上.
再补充一下前面漏掉的一本书:
29.W.Rudin
"Real and Complex Ananlysis"
在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,
这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法
在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,
老的版本总书库里面有很多.
第六章
Hilbert空间由于其上存在一个内积,
可以发展的性质比Banach空间要多得多.
从空间本身来讲,线性代数学好点对
本章前面几节有很大帮助,学的过程
中密切注视维数无限导致的各种反例
就是了.
算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些
有限维的性质是可以推广到无限维的
对整个体系的理解很有用.
本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,
如果第四章能省下的点时间的话还是能够
讲一些算子谱理论的.
这里可以做的习题非常多,特别是
30.P.R. Halmos
A Hilbert Space Problem Book(GTM19)
算得上一本杰作."The only way to learn
mathematics is to do mathematics"就出自
这里.
再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)
在16.里面有一章讲些基本概念.
这一块的文献也是浩如烟海,
因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书,
31.G.K. Pedersen
"C*-Algebras and their Automorphism Groups"
这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去.
再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整
个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,
特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理
的联系,可以看
32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici
"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"
AMS Notice,v.44(1997),No.7
33.A.Lesniewski
"Noncommutative Geometry"
AMS Notice,v.44(1997),No.7
还有
34.Irving Segal
Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes
AMS Bulletin,v.33(1996),No.4
因为
35.Alain Connes(Fields 82)
"Noncommutative Geometry"
可以说是这一块的里程碑式的著作,
(33.中甚至说今后人们会用今天看
Riemann的就职演说的眼光看这本书)
所以对于这本书的评论很多也就
把整个分支都评论进去了,不妨看看.
Jones说这书是"A milestone for mathematics.
Connes has created a theory that embraces
most aspects of `classical' mathematics
and sets us out on a long and exciting
voyage into the world of noncommutative
mathematics".做为老前辈,Segal的书评里面
有一些批评,也值得注意.
第七章
这一章一般不讲,在本科阶段不讲,
在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?
主要问题是,就事论事地讨论广义函数
恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架
在偏微分理论中的应用.现在的状态就是
你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没
听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认
复旦的偏微是很强的...\\sigh
在广义函数的标题下最有名的应该是
36.I.M.Gelfand等
"广义函数"(Generalized Functions,I-V)
大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,
英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是
第二本最有意思.
另外还有两本好书,不光是这一块内容,
从整体上讲也是很好的泛函课本
37.K.Yosida(吉田耕作)
"Functional Analysis"
他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,
一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版
去年世界图书刚刚影印.
38.H.Brezis
"Analyse Fonctionelle"
Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,
非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.
如果能念法语的话绝对值得一读.
在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,
特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思.
这是讲偏微分方程的课的名称.
顾名思义,就是说这里的方程原则上
最早都是从物理里面来的.
这个分支里面的东西丰富之至
(当然往反面说就是有时候会显得
结果比较零散).
现行课本是
1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿
"数学物理方程"(上海科技)
这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,
弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.
注意那些经典方程的推导里面多少有一些
近似的过程,这其实从某种意义上反应了
所对应的微分算子的某些性质的稳定性.
比如,对于经典的波动方程,3维及以上的
奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作
经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个
证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,
差不多二阶双曲方程里面只有波动方程
有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程
的推导里面是有近似的,这说明什么?
一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,
常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很
有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来
证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有
存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,
可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!
学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),
故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有
看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本
相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计
等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.
注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书
2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?),郑宋穆,???
"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)
这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.
特别指出这本书的原因是在复旦的课本
中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"
习题解答的,那是80年代初,油印本.
能不能搞到就看各位本事了.
那本解答对于做作业是很有帮助的.
比较容易找到的书里面,
3.陈恕行,秦铁虎
"数学物理方程--方法导引"
是一本非常好的讲习题的书.
里面的习题如果能够全部做一遍的话,
应付考试是绰绰有余了.
还有
8.O.A. Ladyzhenskaya
"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"
和5.一样,都很经典.当然你要说它们
陈旧我也没话可说.
既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,
在这个方向上我以为
9.李大潜,秦铁虎
"物理学与偏微分方程"(高教)
还是很不错的,上册已经出版,下册
也就要付印了.该书的起点并不高,
所以应该比较容易看.
据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,
认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.
从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于
本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的
书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.
比如
10.L.Bers, F. John, M. Scheter,
"Partial Differential Equations"
Bers是个很有趣的人,
可以看看
11.L.Steen, ed.
"今日数学"(Mathematics Today)
里面的文章.附带说一句,这本书是最好的
数学普及读物之一,绝对值得一看,
中译本的质量也不错.
12.F. John
"Partial Differential Equations"
这本书系资料室肯定有.
剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚
印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.
13.J. Rauch
"Partial Differential Equations"(GTM128)
14.M. Taylor
"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))
引G. Lebeau的一句话,这书比
15.L. Hormander
"Linear Partial Differential Operators, I"
要好念多了.
(当然基本上人人都是这么认为的,
只不过这位的来头比较大而已
--法国科学院通讯院士,46岁)
我拓扑学得很差(从总体上说),
因此这里我也说不出太多东西.
大概也就点集拓扑还算过得去,
我以为这一方面我们的现行课本:
1.李元熹,张国(木梁)
"拓扑学"
的前两章还是不错的.至少该讲的东西
都讲了,而且后面罗列(我想不出还有
什么更好的形容词)了许多习题,
做上一遍是很有趣的一项工作.
中文的参考书里面好象
2.熊金城
"点集拓扑讲义"
是比较好的.该书也有些名气.
不过要好好学,可能还是看下面的两本
比较经典的书:
3.J.L. Kelley
"General Topology"(GTM 27)
此书名头很响,55年出版的时候应该算得
上是把这一领域里面的结果做了个
很好的总结.该书是想写成课本的,
因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...
编号.只是....真要做起来未免有些困难.
听说过这样一个故事,就是曾有一位
华裔数学家回国讲学的时候于酒席间
说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的
书,而且要习题全做.结果大家都笑了,
因为大家都明白这目标不是很现实.
我个人的经验是,在那个学期陷入各类
考试的重围中之前,还做了前面两三章
的题目.是比较困难,但是做起来也非常
有趣.
再补充一本中文的书,内容和1.差不多
4.尤承业
"基础拓扑学"
是北大的教材.
5.I.M.Singer, J.A.Thorp
"Lecture notes on elementary topology and geometry
(中译本基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)
这是本极好的教材,应该
可以用深入浅出来形容吧!
第一作者Singer就是和Atiyah
一起证指标定理的那位,说是重量
级人物当无疑义.
如果你只想查结果,我觉得可以去找
6.R.Engelking
"General Topology"
这书是七十年代末写的,内容翔实,
至少对我来说是有包罗万象的感觉,
当然对做这一块的人就不一定了.
按照萧先生的速度,大概第二章还是能
讲大半的.
这里属于代数拓扑的起始部分,
参考书一下子就比前面的多多了.
讲代数拓扑的书,可能
7.Greenberg
"Lectures on Algebraic Topology"
属于写得很通俗易懂,
配置合理的那一类.
还有象GTM里面的
8.W.S.Massay
"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
也是写得很好的书.
我能写的大概就这点了,
还望大家多多补充.
这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。
拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展
的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为
当代数学理论的三大支柱。
如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看
《拓扑学奇趣》
巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著
这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定
数量的有启发性的题目。
M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。
由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，
有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，
所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。
由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
Spanier's "Algebraic Topology" can not be neglected. it is
a classic in this field, though it is not easy to read.
Aleksandrov's " Combinatorial Topology " is very good for beginner. it
is an authority in history.but it is too large, it contains 3 volumes.
Bredon's " Topology and Geometry"(GMT139) is praised as the successor of
Spanier's great book.
: 7.Greenberg
: "Lectures on Algebraic Topology"
: 属于写得很通俗易懂,
: 配置合理的那一类.
: 还有象GTM里面的
: 8.W.S.Massay
: "Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
: 也是写得很好的书.
: 我能写的大概就这点了,
: 还望大家多多补充.
几何是非常美妙的,通常人们提到几何
的时候会把直观两个字加上去.
这其实是很有道理的,在微分几何中也不例外.
具体的说,就是虽然微分几何往往会使人
感觉被淹没在计算的汪洋大海,但是
有一个几何的"感觉"是很有帮助的.
现在用的课本应当是
1.苏步青,胡和生等
"微分几何"
这书写得不错,至少比北大陈维桓的
那本"微分几何初步"要好多了.这很大
程度上应当感谢本书的主要作者,也就是
书上列的第三作者沈纯理先生,他现在
在华师大.
应当承认这本书,特别是第三章,
取材受
2.Do Carmo(多卡模)
"曲线和曲面的微分几何学"
"Differential Geometry of Curves and Surfaces"
这是本绝对的好书,胡先生他们把这本书翻译出来
实在是功德无量.在总书库里面有一本英文本,
如果怀疑有什么翻译问题的话可以去对照.
1.第三章里面有个习题是从2.的中译本上搬
过来的,不过有题意不清之嫌.做的时候要小心.
还有一点要注意的是1.里面曲面论基本定理的证明
中有个地方漏印了两项,具体去问黄宣国老师吧.
一般说来,看上面两本书也就够了,可以考虑的
扩充部分包括在2.的末尾所开列的参考书目.
这是我很少见到的带书评的书目.里面提到的一些
经典的著作在数学系资料室都能找到,
比如
3.Eisenhart
"Diffenrential Geometry(?)"
谷先生读书的时候就念过这本.
还有象
4.Darboux
"Lecons sur la theorie generale des surfaces"
在系资料室里偏偏缺最常被引用的第二卷.
古典微分几何的开山之做是
5.Gauss
"Disquisitiones generales circa superficies curvas"
这是拉丁文的(Gauss只有晚年最后的一些东西是用
德文写的),所以虽然系里有Gauss全集,我也不认为有
人能看懂,不过现在我们有下面的
6.P.Dombrowski
"150 years after Gauss' 'Disquisitiones generales circa superficies curvas' "
这里面有完全的英文翻译和里面的结果到
20世纪70年代末的发展情况.
对于中文的课本,其实总数就不是太多.有象
7.吴大任
"微分几何学(?)"
或者五十年代翻译苏联的课本等等,
内容都差不多,而且微分几何的特点
是各人都喜欢用自己的一套符号,
许多符号,象曲率等等,常会有正负号
的差异,所以建议认定一两本,
其它简单翻翻即可.
所以说想找讲解详细的书还不如看
8.沈纯理,黄宣国
"微分几何"(经济科学出版社,97)
虽然说这本书是自学考试的教材.
那里的习题也是有较详细解答的.
更难一些的习题可以在
9.姜国英,黄宣国
"微分几何100例"
里面的题目全部做下来的话,
应付期末考试绝对是没有问题的.
而且,如果老师有心考点难题的话,
说不定就会有里面的题目.
此外还有两本苏联人的书
10. A.S. Mishenko, A.T. Fomenko
"微分几何与拓扑学教程"
(中译本,第一册,第二册)
我没有看到过是否有第三册,
反正这书是没有翻全.其处理
方法别具一格.我想这书要不是
非常好的话胡先生也不会去翻它.
: 9.姜国英,黄宣国
: "微分几何100例"
: 里面的题目全部做下来的话,
: 应付期末考试绝对是没有问题的.
: 而且,如果老师有心考点难题的话,
: 说不定就会有里面的题目.
呵呵，师兄真是料事如神啊
: 此外还有两本苏联人的书
: 10. A.S. Mishenko, A.T. Fomenko
: "微分几何与拓扑学教程"
: (中译本,第一册,第二册)
: 我没有看到过是否有第三册,
: 反正这书是没有翻全.其处理
: 方法别具一格.我想这书要不是
: 非常好的话胡先生也不会去翻它.
这本书确实不错，可我没有全部看完：（
--
忻元龙老师有时候会开一门"极小曲面",
这里的特点是甚至可以不引进
流形等概念,出现的最难的工具
有时候就是单复变的一些结果.
这门课的参考书大概首推
11.R.Osserman
"Lectures of Minimal Surfaces"
此书篇幅不大,但内容丰富.
其它还有
12.J.C.C.Nitsche
"Lectures on Minimal Surfaces"(Vol.1)
这书学校里面肯定有.这里面关于Plateau问题讲得很
全,可惜至今我没见到第二册,而原来的德文版
又看不懂(上面写的是英译本):-(
注意到微分几何有许多东西并不象
大家想象的那样古老,比如第三章里面
提到的Fray-Milnor定理,那J.Milnor
还好好活着呢?再比如说等温参数,几乎
必引的文献就是陈省身先生55年的文章.
这些文献,系里的资料室里面都是有的,
看原始文献可以让人逐步体会一样东西
在它刚刚出现的时候是个什么样子,
这和经过无数再处理后写进课本的讲法
往往是不一样的.
补充一本：
《微分几何》 苏步青 原著 姜国英 改写
就是那本黄颜色封面的，理图里有借
发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics
标 题: Re: 微分几何(四)
发信站: 日月光华站 (Tue May 2 15:40:04 2000) , 转信
这本书的原版据说晦涩难懂，
但即使改写以后，根据潘老师的讲法，
看起来也比较费劲。
印象比较深的有，书中单独的一节讲了Bertrand曲线，
对于等周问题，该书也给出了好几种不同的证法。
（最近的几期美国数学月刊里，对于该问题也集中给出了
几个比较初等的证明和若干相关命题）
另外，该书的一个特色是几乎每道练习题都附有最先证明
该命题的人名和时间。使人能够感受到微分几何发展的脉搏。
《微分几何一百例》确实是一本很好的书，
这本书很薄，所以可以在两三天里面看完。
但是建议在看解答的时候最好先自己想一想，
因为书中有些题目的解法并不是最简洁的。
yjyao师兄猜得很准啊，我们上个学期考试的时候
有一道题目就是来源于这本书，当时做出的人不多。
（不过往往是这样，难的题目分值就少，真是%^*@）
现在想来讲两句"微分流形",
我想大概给94开的是第一次,
当时是作为基础专业的选修课的,
我是逃了三分之一的抽象代数课去听的
(当然,应该解释为为听这课逃掉了三分
之一的抽象代数课,由于其他原因的还不算在内*_^),
最后参加考试,因为没选这课,所以就和黄老师
商量,如果没有A的话就算了,结果就是我这课没有成绩
--那课只有今年要去Stanford的哥们拿了个A.
说正经的,微分流形可以认为是"(微分)流形上的
微积分与微分几何初步".在目前教材尚未确定的
情况下,我们只能来看一下具体的内容了:-(
(当然我想说还是有本教材的好,这样至少有个明确的目的,
不然尽管大家都可以直接把笔记拿来当讲义,但
总是有点别扭的,我以为)
首先自然是流形的概念,我们自然不能指望从
Bourbaki的"流形"开始念,一般来说,在任何一本讲微分
几何的书里面都有这一概念的介绍,只不过详略不同而已.
复旦曾经有相当长的一段时间用
1.W.M.Boothby
"An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry"
作为微分几何课本,从某种技术性的观点来说这书可能太罗嗦,
讲到流形上的向量场就用了100多页的篇幅,
但是我觉得初学看这书还是很好的,毕竟讲得相当详细,
几乎所以的东西都是有详细证明的.
理图总书库里面有不少.
讲到流形总是有两种引进方法,一是从一开始就讲一个局部和欧氏
空间中的开集同胚的Haussdorf空间....然后再讲微分结构等等.
中文书里面有
2.陈省身,陈维桓
"微分几何初步"
很有大师风范,只是印刷质量不算太好.(至于陈维桓自己写的那本北大教材,
我比较倾向于引用北大一位师兄的说法:"陈
还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但
还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意",所以,还是免了吧)
另外被认为写得比较好的中文书有
3.白正国,沈一兵,水乃翔,郭效英
"黎曼几何初步"
这书的特点--要说就在于没有特点,那实在是太过分点了
--我认为还是在于很细致,既然不用象Boothby那样在拓扑
流形上花时间,进入正题可以说比较快,而且有不少习题,
书末更有一个索引,实在是本好书.
有胃口的话,还可以看看
4.B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov
"Modern Geometry--Methods and Applications"
的第一,二卷(GTM 94, 103,世界图书新印过).
该书的作者都是名家,除了对于这门课就事论事来说
可能难了点外应该说不出有什么不好.至少可以看看第二卷
的第一章.
二是从欧氏空间中的子流形开始讲.这样的好处应该说是可以马上看到很多例子,
另外毕竟大多数情况下流形只有放在仿射空间或者射影空间里面才有点意思
(至少在开始阶段是这样),从这一角度出发写的微分几何课本中有一本
5.Gallot, Hulin, Lafontain
"Introduction to Riemannian Geometry"(?)
是Springer-Verlag的Universitext中的一本,应该说写得很好,
评价(我听到的)也很不错.
用这种观点(其实用前一种观点也一样,多元函数的反函数定理,隐函数定理
都是要明白的.
J.Milnor曾经写过两本很有意思的书,里面的讲解都是非常精彩的,
6.J.Milnor
Topology from a differential point of view
(中译本:从微分观点看拓扑)
7.J.Milnor
Morse Theory
(中译本:莫尔斯理论)
如果还没给赔光的话理图里面应该都是有一些的.
讲到微分形式,自然可以讲流形上的积分,以及Stokes公式等等.
这里有
8.Spivak
"Calculus on Manifolds"(?)
(中文名字就叫"流形上的微积分"⒎至餍?
可以一看.
有一点,就是大家千万不要只会用Stokes公式,真给你一个流形
上的体积元去积一下反而不会,这千万要不得.作为练习,
不妨试试复射影空间CP^n上的Fubini-Study形式积出来是多少?
9.V.I.Arnold
"Mathematical Mathods of Classical Mechanics"
里面关于微分流形,微分形式等等的介绍也很简单明了.
还可以一看的书有
10.R.Narasimhan
"Analysis on Real and Complex Manifolds"
(中译本:实流形和复流形上的分析,科学,1986)
陆柱家翻译这书是花了功夫的,连印刷错误都一一纠正.
我想至少前一百页是可以看的.
11.苏竞存
"流形的拓扑学"
此书块头很大,内容翔实,而且有很多作者加的话,
很有意思.
有一本书,可能不入高手法眼,不过我觉得是很不错的,
12.C. von Westenholz
"Differential forms in Mthematical Physics"
(这书有两个中译本,书名都是数学物理中的微分形式,
理图里面至少有一个版本)
这是写给念物理的人看的,因此只有条条框框,很多定理都没有
证明.但是好处在于:条理是清楚的,例子是丰富的(虽然很多例子
没有展开,但是至少开始阶段该有的基本上都有了),而且这书里还能
给人一个大概的概念,这些东西学了都可以干什么用(主要是写了
一些在理论物理中的应用).对于到考试前还有点不知所云的人(比如
说我那时候),应该说帮助不小.
至于侯伯元,侯伯宇的那本"物理学家用微分几何",
可能是太深了点,非物理学家不能理解.
以下是北大的一位师兄做的补充
数学分析
欧阳光中,姚允龙
"数学分析"
这本书在外面的口碑不好，错误不少，据
说南开的一位老师曾笑称此书的作者为“老
糊涂”了。
高等代数
9.丘维声
"高等代数"(上,下)
本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作
经常至夜里二,三点.
单复变函数
11.张南岳,陈怀惠
"复变函数论选讲"
这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但
文革中受到很大打击,以至学风不很扎实.
微分几何
陈维桓"微分几何初步"
这本书确实写得不很清楚,陈
还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但
还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意
大学里面念过的本科的课程,
基本上就全部写完了,
感谢大家在这几个月里(默默地?)承受了
我的"酸"劲.\\bow
其实严格说来这里面除了参考书的名字
和简短的评论外,我还写了一大堆从某种
意义上说属于"题外"的话.我的想法是,
在我的意识中,数学不光是那些定义和公式,
数学还包括了为数众多的数学家
的思想,经历.仅仅局限于技术性的细节
是做不好数学的,我以为.
从技术上说,大学数学系的课程还有很多
没有写到,即使写到的这些,也有很多
需要补充,修改的地方,只不过...
我是没那心思了:-)至少在近阶段.
希望有兴趣,胃口,功夫,...的大侠们
多多贡献,在这里先予感谢!
2008年10月9日星期四
中美数学比较
中美大学数学比较（1）
美国大学数学考试老师基本上都不（敢）出证明题，只让学生套公式算（如求导），还得
把要用的公式列在后面。我接触了好几位上课的老师，的确如此。美国学生不喜欢死记公
式，我感觉也不那么学习至上。我不清楚他们是否连乘法口诀也不要求记。大家想想，如
果美国大学生数学真普遍好，为何丘大师老喜欢招中国学生？不过有的地方我赞成美国的
做法， 学生先不理epsilon-delta那一套，就象17、18世纪那样。数学系高年级的才学ep
silon-delta语言。国内让文科的也学epsilon-delta语言那一套，太过分了，对他们也没
用。美国数学水平高原因之一是全世界的数学精英都往美国跑。
中美大学数学比较（2）
任何事情都有利有弊。中国人“唯有读书高”的观念很重，父母及学生本人都重视学习。
中国学生的勤奋用功可谓世界第一， 美国人爱不爱读书是他自己的事，没那么大压力。老
师布置的homework如果不要交, 一般他们不做。奥数竞赛人家也不专门重视，谁爱参加就
参加；而中国把这看得很重，专门封闭培训，还事关国家荣誉。
又如：中国常有培养接班人、梯队之类的规划、项目或奖项， 美国不刻意搞这一套。中国
学生经过严格的数学训练后数学基础的确扎实，当然可能缺少自由想象的空间；美国学生
中学不学什么严格证明，但多学模型与实例。关于集合，他们中学只学概念与例子，不学
什么并与交等运算。美国学生不喜欢带字母的一般性题目，考试题得用具体数字。
中美大学数学比较（3）
关于教学，再补充一句。在美国大学任何老师上课前都得接受防性骚扰培训（美国法律有
规定，每两年得参加培训一次）。学生到老师办公室来，老师必须开着门，否则招惹来官
司可麻烦了。
学生成绩共有如下几种：
(1)A+, A, A-; (2)B+, B, B-; (3) C+, C, C-; (4) D+, D, D-; (5) F (fail); (6) I
(incomplete, 得重修或补考); (7) Pass (>=C), NonPass (插曲,,(我可记不起歌词了,那
好象是90年代的歌吧).在这旧时的歌声中我又有了时空错乱的感觉,仿佛回到了八十、九十
年代. 10年前在欧洲当我接触的一些华人唱着七、八十年代的歌并将观念仍停留在他们出
国前的时代时，我首次有时间倒流的感觉。我的房东也回国兼职了，有时我放VCD听歌轻松
,可那些碟片太老了，老是歌唱紫荆花开、喜迎Hong Kong回归。当时的一些歌手如唱《大
中国》的高枫早已不在了。说到空间的错乱，02年我在台北街道上走时感觉象在天津（我
认为台北比不上南京、上海、北京），坐捷运（即地铁）时仿佛在香港。96年在Genova时
非常喜欢那气派雄伟的九月街，整整8年后我又访Genova大学，重新漫步在那九月街上也有
时空错乱的感觉。Z教授临回国前在网上碰到“粉丝”一词问我什么意思，国内变化真快，
一年内就创造出什么“超女”、“粉丝(fans)”等新词汇。等我回国时不知又落伍多少了
，好在这些并非数学词汇。
中美数学比较（6）
看到同学们对本科教育的热烈讨论，这儿我也谈谈对中美数学教育差别的思考。前面我已
列举了若干体现美国本科教育风格的例子。我赞同杨老的分析，中国教育偏重训导，美国
注重启发。中国的学生学得深，难题做得多，所以基础很扎实；但这样的代价是没时间多
学点新东西。美国的学生学的东西没那么深（可谓浅尝即止），但好处在于可多学点，面
宽得多。记得初中时我做过大量的平面几何难题（如什么九点共圆啊），其实没这个必要
，适当做一些训练训练逻辑思维就可以了。大学的数学分析，中国受前苏联的影响非常大
，厚厚的吉米多维奇习题集与那六大本解答耗费了学生大量的时间。如果日后你是研究分
析或用大量分析的数学家（例如田老师），那样做对以后的确很有帮助；如果你以后研究
代数，分析上钻得太深就没太大必要（当然考虑到学科的交叉，不懂也是不行的）。类似
地，如果你以后做分析，本科做大量的代数难题也没必要；但你得懂代数基本的东西，因
为有时要用到（象拓扑群）。美国那样多学点但学得不深，好处在于需要时你可自学深入
下去。而象中国那样，个别课程钻得深，许多新兴的东西没机会学，完全不懂的自学起来
可没那么容易。
这种教育理念上的差别导致中国可出陈景润这样的专家，难出Wiles那样涉及好多知识的大
家。Z教授常说中国数学家就象玩杂技的,多数只在某一方面玩得很精。换句话说，就是难
得有高屋建瓴式的大师级人物出现。中美教育方式各有利弊；中国方式的优点在奥数竞赛
上体现得淋漓尽致，美国方式的长处则有利于出知识面宽广的数学大师。
我觉得把文科的数学等同于淡化了的数学分析是不妥的。文科人连工程计算都不用做，你
为何让他学曲率、多重积分之类。我认为文科的应主要学数学发展史中的重要思想，主要
去理解数学是怎样的一门学科，没必要花力气去弄懂一些深奥定理的证明。
以上个人观点未必正确，欢迎批评指正。
中美数学比较（7）
国内有各式各样的年终总结。X老师要我们总结过去一年的工作，C老师要我提交过去两年
的论文目录，W老师则要我们列出过去三年的SCI论文并附首页。为了这我忙了好一阵子。
疲惫之余还是续写我的中美数学比较来放松放松。
当你们即将放寒假时，这儿冬季学期就要开学了。Z教授是国内某大学紫江学者,现已回来
了; W教授明天也将从北京返回, 因为6号就要上课了。我今天专程去看了下应坐120个学生
的教室，大吃一惊。教室几乎等于在地下室，阴暗又有霉味。没有我上学期用的可移动的
多块组合白版， 更没有RH教学楼那里的投影仪等设备，只有破旧的长长的黑版。这使我想
起去过MIT的南开人说那里办公条件未必比他们的中心好。回来后跟Z教授一说,他说美国就
这样，中国教育理念与美国的似乎相反,重硬件轻软件不少高校往往宁愿把大把的钱砸在盖
楼房上,也不愿多花在“看不见”的图书期刊等软件上, 好象有点“好大喜功”啊（看来杨
福家的分析还是有道理的）。的确，近年来中国教育的硬件已相当不错了。与美国大学相
比，8年前我在母校南师附中做报告时他们那里的教室都用实物（如书）投影了，而在我那
苏北县中做报告时更是用上了闭路电视。
与Z教授说起我对中美数学教育差别的认识,他非常赞同我的分析。他说中国从小学到大学
学的东西都太深太细，太有技巧性；他在国内花了3个小时才做完05年高考数学考卷，他说
题出那么难那么有技巧性有什么意思啊。中国学生会做难题是因为他在题海战术中长大，
他见过类似的解法，与创新性几乎毫无关系。他也说正因为美国学生学得浅才有机会多学
不同课程，才会知识面宽广。
有人也许觉得这Z教授不咋样，非也！此君与也曾大红大紫的肖刚教授是第一代回国的科学
明星，当时的报纸、电台、电视常宣传他们，也曾受过当时的总书记的接见，陈大师也曾
力邀其加盟早期的南开数学所。我那老兄一听名字就说大学时代就常在报纸上看到他的名
字，曾是其偶像呢。那搞代数几何（实际上是搞3维复几何）的一代红人肖刚，我们系主任
、书记、丁帅肯定都知道；可惜肖早已远离科研，在法国一心做起数学普及的软件了。
Z教授说他尽管呆在美国已十几年，仍然“水土不服”。每次从国内回来，都慨叹国内现在
太好了，真不想回美国了。那这些海外学者又为什么不真的彻底回国呢？这个我以后再做
分析。
中美数学比较（8）
肖教授离开数学研究已有十多年。作为80年代中国数学界耀眼夺目的新星，他为何做出这
样的选择？当时与肖齐名的Z教授说是因为他已意识到其学问已达顶峰，再不激流勇退就得
走下坡路了。
与服务员一样，可以说数学家也是吃青春饭的。数学创新研究是一项高强度的工作，它需
要你的勤奋刻苦，更需要你的智慧、才气与敏锐性。数学家最好的工作几乎都是在青壮年
时做出的。Galois， Abel，Eisenstein， Riemann， Ramanujan等人的英年早逝并不影响
他们成为杰出的数学家。在我国，陈景润在条件艰苦的1966年（那年他是33岁）做出著名
的Chen s theorem（充分大的偶数可表成一个素数加上至多两个素数的乘积）；后来他成
名了，改革开放后工作条件也好多了，可他再未做出可与上述成果比美的工作。华老的大
部分好工作是在他回国前做的。Gauss, 陈省身， Hardy等数学大师们到老年仍坚持数学研
究着实令人敬佩,可他们的代表性重大成果基本上是在青壮年时做的; 君不见伟大的数学家
G. H. Hardy晚年苦于数学创造力的衰弱而一度想自杀（从Ramanujan传记《知无涯者》上
看来的）。数学界最重要的Fields奖只奖给40岁以下的自有它的道理。 Z教授说，正是基
于这样的认识，美国科学基金会一般注重资助活跃的青壮年数学家，许多有名的老数学家
很难拿到基金（在中国有时会论资排辈）。当然，每个人（包括我）都在逐渐变老。对搞
数学的人来说，真的是“少壮不努力，老大徒伤悲”。既搞数学就要有自信心，就要有“
天降大任于斯人”的豪情，更要从大学时代起就踏实奋斗！过了创造力黄金时期的数学家能坚持
研究当然仍要鼓励（随着时间的推移，他们积累的知识与经验无疑也越来越丰富），但培
养好年轻一代也是他们迫切的任务。西方的学术研究环境是很吸引人的，在中国有时学术
外的杂事干扰太多，出过国的人都知道在国外做研究效率很高。
美国加州气候环境真是好极了。这儿几乎可以说四季如春，我来后只见过一场雨（还是小
雨）。这大学所处的环境酷似中山陵，那么多的树加上不高的山， 整个象公园。Z教授回
到大上海，看到车水马龙，空气污染严重，自然不肯离开这公园般的加州住所。加州位于
美国西海岸，是美国最富的一个州。这里的气候条件吸引了许多一流人才来加州，我所在
的这个大学数学系去年就从Stanford挖来个大牌教授（搞椭圆曲线的）。不过，Z教授与W
教授提醒我不要老是夜里1点后走山路回去，因为山上曾发现过豹子、狼、天狗（我不知是
什么）。我基本上很晚从office回去，忙时甚至是夜里3、4点钟才回，只有一次有点危险
，有3只野狗从独行的我身边狂奔而去（它们好象未注意到我，也许在赶一个“紧急会议”
）。
与现在在加州相比，05年初我在法国访问时气候条件恶劣，几乎每天都得顶着大雨大雪骑
着自行车一个多小时从住处赶往Jordan研究所，晚上12点后回去还曾遇上拦车的酒鬼。当
我从欧洲返回上海，在那炎热拥挤的火车站，晚上要排队近一小时才能买到第二天回南京
的火车票。排队时我真的很烦闷，在欧洲火车票几乎随时可买到（很少碰到排长队的情形
）[基本不需提前买]。我只能叹息一声，中国人多没办法啊。类似这样的情况使得逗留在
国外多年的人回国长住就不太习惯了，当然这只是海外学者不能彻底回国的原因之一。
中美数学比较（9）
看了《美国的教育是“非常成功”的》一文， 不知各位有何感想。该文作者的分析有点偏
激，但陈述的一些事实从侧面验证了杨老说法的可靠性（杨与国内高校无过节，没必要不
客观），也说明了我以前对美国学生学习态度与水平的抱怨有一定道理。我一直奇怪为何
大部分美国大学生对数学证明毫无感觉。最近我才弄明白，他们从小学到大学基本上不学
严格证明；数学系高年级才开一门课叫"How to prove", 讲一些基本的证明技巧（如数学
归纳法等）。上学期我讲离散中许多证明真的是不了解他们的国情，大错特错也，难怪学
生考得那么差；其他老师几乎从不给证明，即使书上有也跳过。Z教授对我说，美国从小学
到大学，基本都在“骗”学生，让他们看看例子觉得有点道理就行了，不需也不能教严格
证明。当我们初中或小学学习圆面积公式S=pi*r^2时我们并不知如何去证，中国训练逻辑
思维与数学推理起始于初二的平面几何。美国学生的作业不是强制性的，要尊重他们的自
由与人权；老师也不该叫XX学生上黑板做题，那会侵犯人家不会做题的隐私，有让人出丑
之嫌。为了贯彻Z教授所说的这种“骗”，美国老师还发明了"pratical examination"；
这可叫做模拟考试，可真实考试必须与它相差不多（否则美国学生可能会告你的状）。这
个quarter的积分课程，学生已要求搞那pratical exam了。
我现在也想通了，就要象清华那位老兄临走前忠告我的那样，把他们当作小学生。他们不
习惯求和号Sigma, 不懂数学归纳法，不会抽象思维，不知道1+2+...+n=n(n+1)/2 与(x-1
)(x^{n-1}+...+x+1)=x^n-1等基本公式。听说有的竟问老师: "你上次说2x+3是函数,怎么
这次又说3x-5是函数,究竟哪个对?" 尽管基础差水平低是普遍现象，但据说个别尖子生在
中学就自学完大学数学课程。
关于美国大学生数学水平的现状，我已说得够多了，不想再罗嗦了。中美两种教育模式可
谓各有优缺点，中国的模式有利于大多数学生，能借鉴美国部分教育理念就更好了。
中美数学比较（10）
前面谈的大多涉及美国本科生数学水平。最近我从学生中发展了个“内线”（香港籍的）
，他告诉我许多美国同学的实际情况。他说，大部分同学不理会instructor(主讲老师)布
置的homework; 美国学生相当一部分很懒的,上午十点前的课许多人不来(在寝室睡觉),就
是下午的课到课率也难达到75%以上。[这个quarter原本安排我在8点上课，后来有老师要
求与我调换上课时间，所以我的课就在下午上了，幸好如此。] 这位香港籍的同学主动对
我说，中国学生的用功绝对世界第一。好了，以后我不再谈本科生的问题了。
也许有人认为这个大学太差了，我在的这个大学在美国前50名之列。人家有好几位Nobel奖
获得者而中国却一个也没有；就数学而言，人家几乎每次有两人在国际数学家大会上做45
分钟以上大会报告而整个中国在06年的数学家大会上只有我们的系友陈志明研究员（在计
算所）一人受到邀请做45分钟报告。对比一下可知中美大学水准的差距了。4月份我去MIT
及Wisconsin Univ.访问时也会留意这种差距。
说到研究生，的确中国好多大学生都朝思暮想来美国读博士。美国人很看重推荐信，读研
、找工作、升职称、争取奖项等都如此；中国人对待推荐信比较随便，常常是学生写好老
师签个名，其实这不太好。我系许多老师每年都被学生们找写推荐信，对成绩好的老师当
然乐意推荐也希望他们出去为南大争光；几年前有位同学找我写推荐信，我见其成绩只是
中下等不愿写，可她说“成绩不代表能力，成绩不好也不是我愿意的啊？”她磨了一个多
小时甚至着急地哭了，我心一软也只好答应写，唉！收到offer来美后并不代表已是博士生
，你还得用一段时间看书准备博士资格考试，一般考三门课。这儿考的课程是近世代数、
实变函数、复变函数。第一次通不过，你得想法考第二次。看到有的学生建议不把近代与
实变作必修，这可不利于要出国的同学们。在成为正式的研究生前为了生存糊口，可选择
做grade(评分改本子）。上次中秋节南大人聚会时一位刚来不久的同学就抱怨这儿生活费
太贵，她还没做TA的资格挣点补贴，全靠家里节省寄来费用，挺辛酸的。正式的博士生要
做TA(teaching assistant)必须通过英语（特别是口语）测试。上个quarter我的TA是个香
港籍的博士生，这次是个美国女博士。加州的房价很贵，每月的单间房租依条件一般在50
0-800美元间浮动。研究生不做TA生活就很窘迫。
来美后有几句英语挺常用的。（1）How are you doing ? （中国教的是How do you do）
刚来时我还觉得"How are you doing?"是这儿方言呢，可去年10月底去West Georgia开会
后才知道美国都这么说。（2）Set an appointment. 美国凡事都得事前做个约定，你不宜
直接去office找人家，应发个邮件联系约定好见面会谈时间。美国喜欢提前安排好事情，
刚开学就有学生问我期末考试时间；4月份的讨论班学术报告1月份就要计划好。 （3）Gr
ade on curve.任何上课的老师（包括TA）都得知道这个，学生第一次课就关心最后怎么g
rade.如果你没反映过来或听不懂这行话，你这老师大概要被轰走了。这儿有好几位中国来
的研究生，据我所知及Z教授所言他们水平比较一般。有位女博士生已读了4、5年了还做不
出一个值得发表的结果， 一天她对我说：“我觉得自己已很聪明了，怎么就写不出论文？
”我笑了笑，无言以对。她参加基督教会，教会的人对她说每天多做祷告就会来灵感。美
国基督教会势力很大，他们对违背圣经的达尔文进化论大加批判，现在有的州迫于教会的
压力在中小学课本中塞进“智慧设计论”[大自然的物种及其奥妙必定来源于（上帝的）智
慧设计]。
这儿能发表论文的博士生很少。美国人才济济，竞争激烈；只有少数真正拔尖的数学博士
生毕业后才会找到理想的工作， 对一般的博士来说去做博士后都是奢望。已够长的了，数
学研究只好以后再谈了。
中美数学比较（11）
今天是大年初一（在中国已是初二了）。昨晚我随W教授一家去20里外他们一朋友家参加了
由四家华人家庭组成的除夕聚会，显然在美的华人们依旧保持着中国过农历年的传统习俗
。出发前W教授夫妇告诉我前两天他们晚上走山路遇到了一只大黑熊和她的宝宝，双方对视
了好几分钟都不敢轻举妄动，最后黑熊顾及其宝宝的安全不得不黯然撤退。他们好心地再
次提醒我每次从系里回去不要太晚，因为还有mountain lion等动物也会在夜间出来舒展筋
骨，觅食填腹。看来，我得认真对待这一忠告了，毕竟安全第一啊。
昨天的华人聚会东道主的夫人是江苏连云港人，本科在南艺学钢琴。来聚会的还有G教授一
家三口及H教授一家四口。主人家大厅里电视机在播放CCTV9频道的春节联欢晚会（重播）
，这使我想起04年在罗马Schoof教授家看到的央视九台节目。那时Schoof教授（以椭圆曲
线理论中Schoof算法闻名的意大利数论学家）与其夫人（荷兰微分几何学家）原本在观看
欧洲杯荷兰队与葡萄牙队的足球半决赛；考虑到我来他家而且那是我在罗马的最后一天，
他们很体贴地调出了CCTV9的节目（英文字幕）并说喜欢中国这神秘的东方大国。
在夫人们忙于包饺子、做菜准备晚宴时，先生们在那里玩起了一种使用操纵杆的“足球”
比赛（352阵型）。G教授8岁的小女儿连蹦带跳地为其父亲加油： Daddy! Go! Go! You c
an do it! You can do it !! 看来她是个typical ABC (American born Chinese)了。
H教授是这个大学的医学教授,每年有四次左右回国兼职。这些常回国的海外学者及其夫人
们也谈到了国内一些不好的风气。10年前在Italy过春节时，我与几位当地中国留学生去了
一家名为“大鸿楼”的中餐馆。听说我从国内来，老板娘希望我给他儿子介绍个对象，我
说中国想出国的女的不少啊，可老板娘说：“不行啊，她们想出国以为到国外来享福，可
我们这儿比国内还忙还苦啊”。的确，这些华侨够苦的，你看连春节都不关门休息（西方
人不过中国的春节，所以这天生意不会特别好）。
宴会上大家谈起了海外华人回国的问题。据他们分析，许多愿意兼职不愿彻底回去可能有
以下原因：（1）觉得国内做学问的环境还不够好；（2）夫人们一般不愿意回国，也有说
为孩子未来发展作考虑。
我住在Z教授家。说起美国现在糟糕的初、高等数学教育，Z教授竟说是由中国文革引起的
。文革时毛主席号召“教育要革命，学制要缩短”（我记得读初中时课本第一页总是这条
语录），中国甚至出现因交白卷而上大学的张铁生们。那时Stanford一些激进的教授受此
影响极力倡导教育改革，课本上东西越来越简单、越来越容易，学生们从功课中解放出来
了。后来发觉效果不好，却无法改回去了，因为学生们喜欢改革后的松散、自由。
最近一些海外华人学者认为中国一些高校提短期内“创建世界一流大学”是不现实的,他们
还发帖讨论中国有最高学术头衔的人的平均水平相当于美国的什么层次。不管是海外学者
们清高狂傲还是中国研究水平有待提高（或者兼而有之），看了这些我心里真不是滋味。
。。
中美数学比较（12）
看今年的春节联欢晚会， 那“小崔说事”分明模仿几年前的“昨天、今天、明天”，哪有
什么创新？ 演小品的多年没新招儿，依然是不倒翁。唱流行歌曲的，一首成名曲能养多年
，名利双收。相比之下科学家们活得可不容易啊，他们必须创新，创新，再创新！攻关，
攻关，再攻关！
说到创新，这可与考试是两码事。基础扎实当然为科研准备了好的条件，但那不是你能科
研创新的充分条件。Z教授虽然做国内高考数学题要花三小时，可人家在他领域有两个原创
性的以他命名的东西（M-Z topology 与L-Z process)。 培养创新意识最好从大学时代就
抓起。
我本以为美国大学施行有利于创新的启发式教育，现在看来这儿本科数学教育的确有问题
。学生多数想偷懒，非数学系（或数学系低年级）学生的微积分课老师基本不讲证明更不
考有点灵活性的证明题；象我那样出考题属于另类了，一般老师只让学生套公式算还得附
上要用的公式， 这样是培养不出创新性人才的。当然美国老师这么做也有不得已的苦衷，
在美国上课老师有时要为安全担心啊。今天系主任就发邮件通知大家说期中考试后发生两
起大学生严重威胁数学老师的事，警方已介入调查；数年前我就听说过美国发生博士答辩
通不过后学生枪杀导师的案例。但是美国本科数学教育的这种方式迫使老师讲课要简明直
观、深入浅出，所以不管多深的课程美国许多老师的讲义可读性非常好，这对初学者来说
非常实用。相比之下，中国相当多的教材可谓晦涩难懂、拖泥带水，没能用最精练的语言
体现出该课的精髓；学习者花了许多时间精力却不得要领，这可能是中国许多数学工作者
知识面难以宽广的重要原因。
在我本科阶段，当时南大的一位有远见的副校长倡导创新，给少数选拔出的优秀本科生提
供科研条件，例如： 特许进入到系图书室借书查资料等。我是当年这项计划的受益者（尽
管我那时相当部分的研究成果后来在一些外文专著里找到了），内心里很是感激那位当时
的副校长。02年在台湾中研院数学所访问时，邀请我的研究员要我先讲讲我大学时做的成
果，看我惊讶的表情他解释说：“本科时查资料看文章肯定少于后来的，所以那时的想法
原创性高。”有时过多地跟踪文献资料，会让你学、用别人的方法，原创性就降低了。国
内讨论班常常是学生轮流报告书本上的东西；美国及欧洲的讨论班则是开放式的，一般邀
请外面的专家来做报告，没学者来时也是自己人报告新想法。
几年前南大教务处采取措施改革本科教学，老师不再只给个单纯的总成绩，需要给体现创
新能力的那部分分数；高年级的期中考试也可取消，代之以写点小论文类东西。我试着指
导学生做点创新，有个L姓同学表现出色，竟用我教的van der Waerden定理解决了一个专
著中提到的关于图着色的猜想。我很欣赏该学生，他成绩也很优秀；无奈南大不让他免试
读研，好象只因为英语未过六级。最后该学生去国防科大免试读研了， 我觉得有点糟蹋了
一个好苗子。南大的上述教学改革很快流于形式，因为学生太多了创新能力不太好考察，
更多的老师可能还是习惯传统的考试模式。结果这项改革导致的仅是上交给教务员平时、
期中、期末、总评四项成绩（以代替原来单一的总评成绩）。从事本系大学生教学这么多
年，发现了一个又一个做研究的好苗子，无奈他们多数选择出国，还有去北大、中科院读
研的，鲜有留在南大的。
数学发展到今天的地步，科研上竞争异常激烈。要么你才智过人，要么你勤奋用功，两者
都做不到就很难做出象样的成果了。现在的一些研究生基本功不扎实又不肯下功夫，怎么
做论文？哪有简单好做的，要有也被别人抢着做了。听说外校一位数学博导对来要课题的
研究生说：“你自己找。我能给你什么呢？我觉得能做的我就做了，我要不能做的你恐怕
也做不来。”Z教授说类似的话X教授（现在美国，以前是中国的科学院院士）也讲过，而
且他还多了一句：“我能做你也能做的课题我还看不上。”我觉得这话不那么科学，有时
下了功夫的学生也会搞出让导师吃惊的东西来。就数学研究而言，整个论文生产销售一条
龙都得由作者完成。你看，找课题得靠自己，研究开发要靠自己，产品完成后还得自己推
销发表。
其实数学研究策略与打仗的战略战术是相通的。有人主张做主流的超级难题，希冀象十月
革命、武昌起义那样一战成名；有人觉得强攻数学“大城市”不成，不如学学1的农村包围
城市之道；有人胸怀大志，熟读兵书，却如马谡般不能实战，眼高手低； 有人是将帅之才
，站得高望得远； 有人是踏实能干的战斗英雄；有人似张飞勇猛有余谋略不足；有人似诸
葛足智多谋；有人见好就收，绝不恋战；有人顽强拼搏、战斗不息，如孔明六出祁山、姜
维九发中原。
中美数学比较(13)
刚从网上提交了学生Math2B(积分学)成绩，在这里的教学任务也就彻底完成了。尽管我以
前说不愿再谈美国本科生情况与这儿的教学，可今天还是来谈最后一次。
与中国学生最大的不同是他们不怎么看教科书与老师笔记，即使课上反复讲的或复习课强
调的许多人也不理会。书上简单的例题或复习课上的题目考试照样不会，这令我十分纳闷
；要知道对中国大学生来说这样的事不太可能发生。我知道的在此的中国人、巴西人等普
遍抱怨美国一般大学生的数学水平。W教授曾对我说，你就是用现成的复习课上题目他们也
有不少不会做，你要改个数字不会的就更多了；同办公室的巴西人说，这些美国学生如果
每天用一小时看书就自认为“study hard”了。Z教授说，丘大师在加州大学圣迭亚戈分校
那么多年肯定未给本科生上过课，才会如此抬高美国本科生水平；Z教授甚至说加州大学的
研究生大概相当于国内名牌大学高年级本科生(我觉得这个说法有点夸张)。
我来举点具体的例子让大家对美国学生有些深刻的认识。这次期末考试题与模拟考试题极
其相似，可考得依然不理想。例如：求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的面积，居然有几乎半数人
不会；这是书上例题，课上也讲过，需用的square-root{a^2-x^2}的积分复习课上也讲了
（用三角代换或分部积分），我以为考试肯定没问题了。真没想到许多人甚至不会解出y=
(b/a)square-root{a^2-x^2}，有的说x^2+y^2=a^2+b^2(真的不会分数加法了)，有的说sq
uare-root{a^2-x^2}=a-x(连我们初中生都知道x^2-y^2 not =(x-y)^2)。改考卷过程中也
发现有人居然认为 (sin t)^2+(cos t)^2 (=1)开方后得sin t+cos t.连这些基本的东西都
不会,再容易的考卷对他们都难。模拟考试题中有道题用分部积分算(ln x)^2的积分,复习
课上也反复讲了这题; 真实考试时让算更容易的ln x积分居然许多人不会。我原以为这种
题等于送分，可他们。。。。下午一学生来看分数，他没通过（得F），眼睛红红的，说这
是他（计算机系的）第四次未通过此课考试了，问我“What can I do to improve the g
rade?”，我说“It s too late. You can do nothing.”[Z教授以前告诫我如果女生这么
问就有骚扰嫌疑了.] 我问他为何不看书连书上简单的例题也不会，他说书太难太枯燥(to
o dry)了，大家基本都不看。美国学生平均水平既如此，看来不怎么讲证明的教科书得换成更容
易的了。在成绩问题上总有一些美国学生要与你讨价还价，他得C可他说只有A才我知道冬
天的有用；全班最低分的非要说他是最用功的，所有课都来，所有作业都做，所有书上内
容都认真看了（分明在说谎，那怎么书上最简单的现成例题都不会?）。与这些学生打交道
仿佛要象生意场上那样谈判，在中国决不是这种情况。为什么平均水平会这样？Z教授说美
国没有中国那样的高考，他们讲究民主，进什么大学由你在中学时的成绩与排名来决定。
当然差的学校的前几名与好中学的前几名差别很大，但美国不管这个，所以有些大学生水
平真的很次。我这里给大家展示两个学生邮件, 看了后你们就会了解美国大学生的实际状
况。
先看成绩差的一个(也挺可怜的）来信：
“I am currently a fourth year in your math 2b class. I was wondering if you c
ould give me advice on what to do. I took math 2a my freshman year of college
and have not touched math until now. Because of this, I was completely lost th
is quarter. I had forgotten math 2a, trigonometry, and pre calculus（他说以前学
的极限、导数、三角函数甚至微积分预备知识都忘光了）. In order to try and do wel
l in this class, I took Larc (the on campus tutoring program) and I also hired
a tutor outside of school to help me with math 2a. On top of my heavy course
load and the extra tutoring, I had to have three jobs this quarter（还得打三份
工）. Because of all that I was doing, I did very poorly on the midterm and I
have not been scoring high on the quizzes. I assure you it has nothing to do w
ith me not trying hard or not liking math. I work hard and I have always loved
math.
Well, I was wondering if you think it is possible for me to pass this class, a
nd if not, I was wondering if you could give me a W (withdrawal) so that I may
retake this class next quarter. If I were to receive an F, I would have to re
take the class either way, but becuase I am a pre-medical student, and so much
of my chances of getting into medical school rely on my GPA, I would rather h
ave a W on my tranxxxxs than an F. Thank you for taking time to read
my email.”
再看一个考试得满分的好学生来信（邮件标题为I enjoyed your class）：
I am sending this mail to you because I am afraid I will not be able to
communicate this to you in person. I hope you understand this mail.
Hello, I am a student in your Math 2B Class this winter quarter. I heard you a
re going to return to China after only 1 year teaching here at UC Irvine. I do
n t know why you are returning but I surely hope that it isn t because you did
not enjoy the teaching here at Irvine. It s unfortunate that you will be leav
ing because I am sure that Irvine will lose a brilliant mathematician.
I would just like to say, that in High school I was enrolled in Calculus as we
ll and understood it well. I thought it was boring. When I was enrolled in you
r Math 2B class, many of the subjects you taught I already knew. I can say thi
s: I did not need to come to your class. But after the first few lectures, I s
aw that you lectured Math as an Art. After this I attended every lecture I cou
ld. You taught here at Irvine with more passion and fervor than any other teac
her I have been taught by in my life. Even that I knew the material you taught
, everytime I showed up to class and listened I learned something new.
Sometimes you would teach a shortcut or new method of doing math I never reali
zed. You broadened my knowledge and appreciation of math.
In this short mail, I simply want to say that your teaching impacted me and as
well as other students ( I m sure ). I know that your talent is beyond teachi
ng simple calculus and I m sure you would enjoy teaching upper level math here
at UC Irvine as well.
Overall I hope you enjoyed your stay here at UC Irvine, and learned something
from this experience. I learned many things in your class, and I hope you expe
rienced many new things teaching this class.
I thank you for teaching an inspiring, challenging, and innovative class.
Sincerely,
your student,
Lloyd
中美数学比较(14)--Wisconsin之旅
进入4月份，我也开始了我的回国前美国东行访问之旅。我访问的第一站是Wisconsin大学
Madison分校（最好的分校），时间为4月3至8日。机票2月份就买好了，对方也早为我订好
旅馆。3号早上5点乘一朋友的车奔向Orange County（Irvine所在的县）机场。先乘坐一小
飞机去Cincinnati,飞机驾驶员好象倔牛脾气,上升与下降动作极猛,无缓冲过程；下降过程
中飞机抖动得极为厉害，乘客如不紧抓住前排的座椅非摔倒不可。从Cincinnati转机到Ma
dison，虽然改乘一排只有3个座位的更小飞机，飞行却顺利得多。从Madison机场我乘Tax
i去订好的旅馆，沿途我看到了整洁素雅的Madison，长长的一条道两旁都是大学的机构或
饭店、商场之类。4月的Madison已很暖和，我知道冬天的Wisconsin可冷极了。
到达旅馆已是傍晚，我首先取出带来的手提电脑看是否好上网，无奈找不到网线插口。我
去问服务员，他说无线上网(没想到这旅馆还这么先进)。我搞了好一会还是不行，请他们
专人来帮忙；无奈人家说不懂中文（我电脑Window显示中文）cannot help. 后来我了解到
一楼大厅有网线插口, 这样需要上网查邮件时就把电脑搬下来用。
第二天上午Y教授开车接我去数学系，在系里也见到年仅38岁的很有名的数论学家Ken Ono
教授(American-born-Japanese). 他们系负责招收研究生的是个华人教授，他与我聊了一
会，问了我们每届学生的情况。Y教授还提到我们02级的某位被这儿录取却改去柯朗所了。
在系里办理有关手续时，才发现由于我的J1签证他们承担我的访问费用还要得到我所在的
UCI授权，Ono赶紧给UCI的International Center打电话要UCI授权, 可UCI说要得到UCI数
学系同意; 于是Y教授急忙给UCI的W教授发邮件让他要UCI外办放行。UCI外办效率极低，我
一周访问结束后他们居然还未给Madison发传真，再三催促下才终于发了。真没想到如此麻
烦！我后面还要去UIUC与MIT, 还得要UCI授权。据说美国这罗嗦的措施是911造成的。与Y
教授聊到美国大学数学教育，我提到学生怎么连椭圆面积也不会求。Y教授说，你怎么出这
么难的题目；他们连2/3+4/5都不太搞得清，怎么去理解椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1？Y教
授还说，象求复合函数ln(x+square-root{x^2+1})这些美国大学生多数不会。Wisconsin大
学的学生尚且如此,看来真如Y教授所说"他们只有极少数好的,大部分水平很臭". 我真的不
明白怎么会这样,一直想探究原因。Y教授说美国中学数学老师一般不是数学系毕业的，而
是教育系毕业的， 所以大部分学生中学数学就未学好。
4号的首场报告听众挺多的，他们在数论方面的教工、博士生、博士后真不少啊。 Askey院
士也来捧场了，我们系01级的tjw也来了。报告完后我与Askey院士、K. Ono教授及Y教授合
影留念，回来后发现照片上的我眼镜模糊不清，估计洗去手上粉笔灰时有水溅到眼镜上了
。晚上Y教授请我去饭店吃饭，也带上我的系友tjw； 大家吃得很好，tjw说从未来过这样
饭店吃这么好，看来他还是挺节俭的（在国外有时就得这样）。tjw已通过博士资格考试，
即将选导师，他说想学代数几何，真是有志青年啊！tjw也说美国学生不喜欢证明，老师只
要讲讲基本的idea就行了。
6号第二场报告后Ken Ono教授请我去印度饭店吃饭，伴随的还有他的一个学生，他的美国
太太与两个非常可爱的孩子（一儿一女）。我故意问Ono的只有7、8岁的小儿子：“Do yo
u know how great your father is ?”他点点头。我与K. Ono及Y教授都是首次见面，他
们对我研究的东西挺有兴趣，希望与我及W教授开展合作。Y教授一年内做了两次肾移植,
还坚持做数学研究。他说他不能倒下，不然妻子小孩没法生活了。他还负责成立了一个慈
善机构，专门资助安徽某县中小学贫困生。我很感动，当然也有所表示了。
8日我离开Madison经Atalanta转机回Irvine. 在Atlanta机场我咨询一工作人员时,那黑女
士(或女黑人)好奇地打量着我, 我说:"I m a Chinese." 没想到她接着说: "My grandfat
her is also a Chinese." 在机场商店柜台转悠时想看看有什么小礼品好买(如有Atlanta
建筑标志的精美钥匙链), 结果总是发现"Made in China". 中国真的是世界加工厂了。
要知University of Wisconsin at Madison是什么样子, 我只好附上照片一张。不过放在
这里不合适，去我的blog中同样题目的文后找吧。这个有点象流水帐。本想也记下Illino
is之旅经历的趣事与见闻，可一次写那么多太花时间了。
中美数学比较（15）--Illinois大学与中国的数论
Wisconsin之行结束后我立即筹备对UIUC与MIT的访问。我通知这两校，因J1签证之故我要
准备好UCI的授权信。UIUC的Ford教授与MIT的Stanley院士很快用传真发来书面邀请信，我
拿着这两份传真去面见UCI数学系系主任； 系主任看了传真觉得他们能邀请我去访问是好
事，立即授意其秘书起草授权信，并亲笔签字。(UIUC说由系主任签字的授权信就够了,我
很高兴可不经过那效率低下的International Center.)
我早知道华罗庚教授50年归国前在UIUC (Univ. of Illinois at Urbana-Champaign)任教
。无疑我想看看我国杰出数学家华罗庚教授当年工作过的地方，所以我的UIUC之行有特别
的意义。
出发前一天收到02级fy哥哥fxd(我系95级的,我教过; 他与其同学hz都在UIUC统计系)的邮
件。他问我需不需要在机场搭他们的车，并热情地说他与H同学要请我吃饭。我告诉他，F
ord教授要去机场接我，我到达旅馆后有空时会与他们联系。
4月12日凌晨，南大电子系出来多年的一老师爱人热心地用车把我送往机场。（在Irvine公
交车极少见，叫出租车要提前几天预约，凌晨那么早未必有出租车愿意来，所以自己没车
真是麻烦透了。）下午在Chicago机场转乘小飞机去Urbana-Champaign（这是我坐过的最小
客机了）。
Ford教授接到我后送我去紧靠数学系大楼的旅馆，安顿好后他说今晚Bruce Berndt教授要
请我吃饭。我与Ford及Berndt都未见过面，第一次看到Ford的名字是在他1999年发表于An
nals of Math.的文章上,他出人意料地利用陈景润定理彻底解决了有几十年历史的Sierpi
nski猜想(对每个k>1都有n使得恰有k个正整数的Euler函数值为n); 这是陈氏定理的绝妙应
用,陈景润地下有知的话无疑会为他的深刻定理多年后再次焕发光辉感到欣慰。
Berndt教授早就是数论界名人了，他是International Journal of Number Theory的主编
，5卷本（Springer出版， 我系资料室有）的作者。大家可去其主页http://www.math.ui
uc.edu/~berndt/看看，他已发表了174篇学术论文、9本书，还编辑了11本书。他开车来后
， 问我想吃什么饭，要去什么样的饭店；我当然说随意了，由他决定。结果他带我去一家
泰国餐馆。吃饭期间我们讨论起数学，就在桌上铺的白纸（不是布）上写了起来。当我说
起美国大学生数学考试很少出证明题而中国的情况刚好相反时, Berndt教授很惊讶并说他
要告诉他的美国学生中国学生多么用功。
提起华罗庚，Berndt教授说当年Springer出版社派专人来找H. Halberstam教授讨论《华罗
庚论文选集》出版事宜时，Halberstam提到Berndt在研究Ramanujan（印度传奇数学家，被
Hardy发现并邀请到剑桥，但33岁就英年早逝，留下了数本谜一样的数学笔记本，包含大量
新奇的公式却无证明）遗留的笔记本；Springer遂对此表现出极大的兴趣，动员Berndt教
授在Springer出版其关于Ramanujan笔记本的系列书籍。Ramanujan今天名扬天下，无疑Ha
rdy当年发现他并在其去世后极力宣扬他功不可没（我记得Hardy曾说过如果就原创性给数
学家打分的话，Ramanujan得100分，Hilbert得70份，他Hardy大概只能得30分），近十年
来Ramanujan的影响如日中天,Berndt出版更是将Ramanujan的声望推向高潮。
13日中午Berndt与Ford教授带我去学校食堂吃了顿西餐。饭后赶到数学系，我的报告时间
（1点开始）马上就到了。一进那讨论班教室，发现已来了不少人，还有多位老先生。报告
完后有两位老教授与我交谈，Ford介绍说他们是H. Halberstam与P. Bateman. 我大吃一惊
，这两位数论专家可大名鼎鼎，他们是华罗庚教授当年的老同事、老朋友。我读过许多介
绍赞美华罗庚与陈景润的评语，不少出自这两位前辈之口。
看看以下用google搜来的文字吧：
“由H．哈贝斯坦(Halberstam)主编的《华罗庚论文选集》在1983年由施普林格出版计出版
。”
“1986年，H. Halberstan在悼念华罗庚的文章中有这样一段话。"如果华罗庚曾经懊悔在
他才华的高峰和思想敏锐的时候离开了美国的话，那么他后来重访西方时，他不能收回失
落的时光，而他对自己祖国的献身是无条件的和坚定不移的"。”
“华罗庚是本世纪最富传奇性的数学家之一．将他与另一位自学成才的印度天才数学家S．
A．拉马努金(Ramanujan)相比较，正如P．贝特曼(Bateman)所说，“两人主要都是自学成
才的，都得益于在哈代领导之下，在英国从事过一段时间的研究工作．……．他们之间又
有截然不同之处．首先，拉马努金并没有全部完成由一个自学天才到一个成熟的、训练有
素的数学家的转变，他在某种程度上保留了数学的原始性，甚至保留了一定程度的猜谜性
质．然而华罗庚在其早期数学生涯中，就已是居主流地位的数学家了．其次，拉马努金与
哈代的接触更直接，更有决定性意义．……．虽然华罗庚在英国工作时得益甚大，但他与
哈代在数学方面的接触显然不是这样特别集中的”．”
“1973年，陈景润在《中国科学》上正式全文发表了他的著名论文“大偶数表为一个素数
及不超过两个素数和乘积之和”。这一辉煌成就立即在国内外数学界引起了强烈的反响。
英国数学家哈伯斯坦(H．Halberstam)和德国数学家里切特(H．Richet)合著的数论著作《
筛法》当时正在排印，他们见到陈景润的论文后，立即增补了最后一章“陈氏定理”，并
称“陈氏定理是筛法理论的光辉顶点”。”
由此大家看到Halberstam与Bateman教授对中国数论的贡献是巨大的, 是他们热情讴歌了中
国解析数论的成就,是他们首次提出了陈氏定理的命名! UIUC数论有几十年的传统了,这里
有十多位数论教授,也培养了大量的数论人才； Ford教授就是Halberstam教授的高足，他
近年来对我研究过的覆盖课题很有兴趣。UIUC与中国数论有割不断的联系。Halberstam(7
9岁)与 Bateman (84岁)两位老教授均已退休,还赶来听我这后辈小生的报告并说我有许多
新思想, 我真的很感动。我与这两位数论老前辈合影留念，他们还坚持要我站在中间，说
我是客人（我真的很不好意思）。
我这次来访是UIUC数论组邀请的。他们的组合与逻辑也很强，象与Noga Alon多次合作的组
合学家Z. Furedi教授已发表了203篇论文。难怪该校排名很前啊，人家的确强大！13日下
午我去UIUC数学系图书馆看了看，他们的资料非常齐全。13晚Ford教授邀请我去意大利餐
馆吃饭。我看他数次陪我太辛苦，就说14日中饭及14日下午去机场不麻烦你了，我打算与
我的两位中国学生在一起。13晚收拾好行李后突然发现电视上反复说14日有特大风暴，不
由得担心起我14日2点多能否乘飞机回去。深夜，我起来出外察看天气，电闪雷鸣下起了雨
。
第二天早雨停了，还出了太阳。我去校园看看想拍几张照片，见一建筑很别致，就向最近
的一个学生走去。我说：“Would you please take a picture for me?” 那在石凳上读
书的美女学生把for听成了with, 一边说着“With me?”一边微笑着往我身旁一站；我看她
误会了，赶忙递过相机，她这才明白过来。
14日11点天空又乌云密布了，F同学与H同学如约而来，他们说预报要起龙卷风了，担心飞
机走不了。他们热情地带我去名为“唐王朝”的中餐馆吃午饭，饭后又送我上机场；10年
前我教过他们，这两位性格相当好，待我如此热情我很感激。
在很小的Champaign机场，我那飞往Chicago的航班延误了一个多小时，因为Chicago天气不
好。起飞后不久我从窗口发现乌云太密运动也太快，驾驶员后来选择了超低空飞行总算平
安抵达Chicago机场。等待从Chicago到Irvine的飞机时我扫描了一下我的同机Irvine"老乡
"，觉得他们长相较一般的美国人奇特粗壮。到达Irvine机场时已是晚上9点多Irvine正在
下雨。以前机场出租车等人，这次竟是人等出租车。排在我前面的一中年妇女带着10岁左
右的女儿，还有两大箱行李。我说："Her (指那小女孩) father should come." 那妇女回
我说:"Her father has a new wife!"
回到UCI后Berndt来邮件说,他们那儿已起龙卷风,不得不躲进地下室。真庆幸我离开得好及
时啊。最后附上与数论界老前辈、华罗庚教授老朋友Halberstam（左）和 Bateman（右）
教授的合影。
中美数学比较（16）--在MIT走近Stanley与邂逅Green
从UIUC归来后下面就是去访问MIT. 面对4月份我的三次出访，我周围的中国人（了解我的
W教授与Z教授除外）多有质疑之声：在这儿华人英语角，一来自清华的女学者问：“他们
为什么请你去访问？”UCI数学系一华人访问学者说“请你去干吗？”就连好心送我上机场
的人也问“是你同学请你的吧？”我懒得当面回答这些无聊的问题，小平同志早就教导我
们：“发展是硬道理”其实我在国外第一次受邀去别的大学做报告发生在1996年。那时我
在意大利Trento大学进修访问，我素不相识的解析数论专家、Genova大学教授A. Perelli
（大数学家E. Bombieri的高足）突然发来邮件邀请我去他那儿访问几天并给个学术报告。
我惊讶地问他怎么知道我在意大利，他说他从数论界著名学者A. Granville教授（那时在
美国，与我合作过文）那儿得知的。2004年重访欧洲时短短40天我访问了分别在意大利的
Roma, Firenze（佛罗伦萨），Genova与奥地利的Graz, Vienna(维也纳）的5所大学，除了
Perelli教授那儿是故地重游外其它邀请方的教授们（有搞数论的也有搞组合的）我都未见
过。再来看看我4月在美的这三次访问实际上是怎么回事。Wisconsin大学的R. Askey院士
在04年就听说我要到美国来， 04年10月还在南京的我收到了Wisconsin大学的访问邀请，
我回答说估计05年才去美国；05年初还在法国里昂时又收到他们的邀请，我说可能5月后才去美
国。05年7月我再次收到Wisconsin大学的邀请：“I would again like to invite you t
o visit Madison and give a number theory seminar sometimes this Fall. 。。。
Thanks a lot for your consideration, and I look forward to seeing you here thi
s Fall”，我说那就安排在我10月底去West Georgia开会后吧。后来9月开学我被UCI安排
上课，走不掉了我就给Wisconsin去信表示抱歉；他们与我商定将我的访问推迟到我的所有
课结束之后的4月份。Wisconsin大学数学系对我的诚恳邀请令我很感动，他们与我见面后
说我在科研上“very active”.[去年10月在West Georgia大学开会时著名（离散）数学家
R.L. Graham院士（曾做过美国数学会主席，是Paul Erdos的好友，夫人也是院士）见到我
的第一句话就是“You are very active”,这句过奖的话使我觉得以前的辛勤努力真的没
有白费。] UIUC之行源于Ford教授发来的下述邮件：“I would be glad to invite you
to give a talk at our Number Theory seminar. Our seminars are at 1:00 on Tuesd
ays and Thursdays. We can pay all of your expenses, including air travel.I am
interested in your work on covering congruences and related topics.”MIT的邀请
来自著名的组合学家R. P. Stanley院士，他在给我的邮件中说“I have looked at many
of your papers on the arXiv,......”
Stanley院士（1944年生）是著名组合学家， 1971年在Harvard大学Gian-Carlo Rota院士
的指导下获得博士学位。[Rota院士创立过著名的半序集上Mobius反演理论,也是著名的Ad
vances in Mathematics创刊人.] Stanley院士是Rota学生中成就最大的, 已发表140篇论
文，培养出40多名组合博士（他们许多也已成名，是美国组合界的骨干），其两卷本《组
合计数》是经典的名著,据Math. Reiviews引用情况数据库他的论著已被1294个作者引用了
2118次。他于1995年被选为美国国家科学院院士，获得过2001年的Steele奖、2003年的Sc
hock奖，今年将在西班牙召开的国际数学家大会上做一小时大会报告。著名组合学家D.Ze
ilberger在其网页上称Stanley院士是“代数组合教父（The `Godfather of the Algebr
aic Combinatorics Mafia）”、“许多杰出组合学家的师傅或师爷（Academic Fatheran
d Grandfather of so many brilliant combinatorialists）”。
UC Irvine数学系的人（包括搞统计的或分析的）基本都知道Stanley的大名，对Stanley邀
请我去MIT访问并给个seminar talk有人觉得不可思议。当我问MIT为我订的旅馆地址时，
4月9日Stanley院士回复说他将去机场接我并把我送到旅馆（“I can pick you up at th
e airport on April 20 and bring you to your hotel”）；他这个大名人如此对我这小
辈令我十分感动，我觉得让他来接终究不妥，出发前夕我发邮件说不用接了我自己打的去
旅馆。
有了前两次转机的经历，20日去Boston顺利多了。加州濒临Pacific,在美国的西海岸, 现
在夏令时时间是北京时间减15小时，飞机到中部的Chicago时手表要拨快2小时, 由Chicag
o飞到东部的Boston（濒临Atlantic,在美国的东海岸）时手表要再拨快1小时。在往Bosto
n的同班飞机上有一群Japanese小girl（大概是初中生），我问坐在我旁边的日本小女孩“
Do you know Nanjing city in China?” 她说不知道（显然她们的历史书未提南京大屠杀
）[03年在日本福岗开会时发现那儿的大学生也不知道南京]，于是我再没兴趣与她讲话了
。一出Boston机场,就感受到大城市的气息。那拥挤的交通与密集的建筑使我想到了上海。
好久没有见过喧闹的大都市了，Irvine就象风景宜人的山区疗养院，Madison与Urbana-Ch
ampaign则是生活便利的小城。
我所住的那Kendall旅馆挺别致的。21日吃早餐时碰到来美国开会的两位上海交大的女老师
。22日离店时我才了解到每天住宿费高达184美元，再加上23美元的税，就有207美元了。
虽然是MIT为我付这笔费用，我还是对住宿费之贵感到吃惊[我在Madison及Urbana-Champa
ign的旅馆住宿费分别是每天63美元、92美元，04年在意大利佛罗伦萨与罗马的住宿费分别
为每天80欧元、70欧元]。
21日上午风和日丽，我由旅馆步行去久闻大名的MIT（很近的），边在校园里走边照相，几
次碰到中国来的学生（不过都是女的）。MIT的主楼气派雄伟,不过我不知道为何在大门上
校名中字母u都被刻成了v. 11点左右终于找到数学系（在2号楼）了,在寻找Stanley院士在
3楼的办公室时赫然发现大数学家I. M. Singer(以Atiya-Singer指标定理闻名, 上届Abel
大奖获得者)的办公室。找到Stanley院士后他带我找数学系秘书办理了有关手续，然后就
主动热情地带我参观校园。在中国象他这样的名人、院士通常是很powerful的,恐怕很少会
陪后生小辈参观；这就是美国教授的亲切可敬之处，Stanley院士真的和蔼可亲、毫无子。
回来后与Z教授说起此事，他不赞同我的观点，说Stanley对我那么好是因为我是来自中国
的客人，换了在美国的年轻教授情况就大不一样了。在校园里我与Stanley院士拍了数张合
影，之后他带我去买午餐。下午2点他还有课（国情不同，中国的院士们还上课的就少见了
），于是我就逗留在数学系公共休息室及以去世的Rota院士命名的数学期刊阅览室。
我的报告安排在下午4：30-5：30。由于Stanley是组合学家，擅长代数组合，我在此报告
的内容就离数论远点，有组合与代数混合的味道。此前在Univ. of Wisconsin at Madiso
n与UIUC的三个报告主要听众是搞数论的, 我就选择了离代数远点的三个不同的数论话题,
在Wisconsin的主报告涉及我来美后做的与psi算子及代数拓扑有关的组合数论工作, 在UI
UC则谈论我的涉及解析估计与Gamma函数的数论工作(因为听众中搞解析数论的居多)。快4
点时MIT一搞组合的老师Postnikov与我聊起来，我说我的研究一般还带有数论味。他居然
知道我与同胞兄弟92年的一项较好的工作，他还说Ben Green教授现在在MIT访问。一听著
名的数论学家Green在此我立即来了精神，Postnikov带我去见Green, 可他不在办公室。于
是我们去3楼休息室喝茶，Green教授正在那里！Postnikov把我介绍给Green, 一提我名字
Green马上说"I know, I know!" 搞得Postnikov还以为我俩本来就认识。我想Green知道我
大概是他见过我关于受限和集的文章，他与Terence Tao用解析方法研究和集，我与我的合
作者则象Noga Alon那样用代数方法研究和集。当然我比他与Tao差得太远了。
现在来介绍一下数学新星Ben Green其人。他是英国人，生于1977年，在98年Fields奖获得
者William Timothy Gowers指导下取得剑桥大学博士学位。在03年他与天才青年数学家Te
rance Tao（75年生，华裔）合作将解析数论、遍历理论与组合相结合一举证明了著名的E
rdos-Turan猜想（素数序列包含任意长的等差子序列）而名震数学界，该深刻结果现在被
命名为Green-Tao定理。Green在04年获得著名的Clay研究奖，05年获得Salem奖，今年将在
国际数学家大会上作45分钟邀请报告。
认识Green后我与他在其办公室聊了会数学，他对我的一个猜想感兴趣。我们准备合影时我
到门外正碰上一个小伙子；他帮我们照张相后，Green对这小伙子（估计是正来找他的研究
生）介绍了我（This is ...）。令我非常惊讶的是Green对我名字的发音非常准（一般老
外读中国人名字挺别扭的）.很快我的报告时间到了,我说我得走了。听报告的有Stanley院
士和他的学生，还有几个未选导师的低年级研究生。报告开始不久，没想到Green也跑来听
讲了。报告结束后Green说了个“Nice talk”，其实要早知道他在MIT我就不讲这涉及群论
过多的课题而改讲他最有兴趣的和集问题了。顺便说一句，Green还没女朋友呢。
我与Green道别后随Stanley及他的一个博士后与两个女研究生（其中一位来自北大）去了
一家非洲饭店。Stanley院士请我们吃非洲饭，这是我第一次品尝非洲饭。非洲饭菜放在铺
有薄饼的一个大盘子里，我们每人自己碟子里只有薄到一抓易破的薄薄面饼皮。没有刀叉
或筷子，必须拿手用撕下的一小块薄饼皮去抓裹菜吃（这比用筷子夹难度大多了），自己
的面皮用完后就得用大盘子里菜下的面皮。我觉得挺麻烦的，面皮又薄又小，手都搞脏了
。
我问那北大来的女生，你在这儿的中国同学都来自什么高校。她说“北大、清华，还有科
大”。Z教授以前告诉我Harvard与MIT只收北大、清华来的中国学生。晚餐后已是9点多了
，与Stanley院士道别回旅馆后我又出来在街道上随便走走看看Boston的夜景。刚收拾好行
李准备休息时，突然听到电视上说22日下午起Boston将连降几天大雨。我返程的飞机应在
12：55飞往Denver,然后由Denver转机回Irvine. 行程都是两个月前定好的，再迟到下午就
走不掉了。第二天9点多钟我打了电话给出租车公司，没想到仅一分钟车就来了（Boston的
交通比Irvine方便多了，还有地铁）。出租车司机是个挺唠叨的50多岁的老师傅，问了我
基本情况后他就唠叨个不停（还手舞足蹈）：“Oh! My God! Mathematical doctor! Ame
rican students can only use calculator, but most of the calculatorsare made in
China! Oh! My God! Mathematical doctor! ......”很快就到了机场，我给了他25美元
车费另加两块小费。由于太早，前面11：06去Denver的航班尚未走，那航班在机场的工作
人员力劝我乘这早点的航班（同是United airline),我想了下也就决定早走（担心很快会
下雨）；在Denver我又调整了航班,乘比预定提前2个多小时的另一航班回到了Irvine. 三
次出行,每次都要转机；前后12次起降，总算一切顺利。至此我也圆满结束了我的出访之旅。最
后附上与Stanley院士在MIT大门口的合影及与Green在他办公室的合影。（效果不好，请见
谅。）
--
我是AlpS山脉的王
我站在Mont.Blanc峰顶虔诚地向你下跪
玫瑰，Cupid金箭，带着血液温暖的象形文字的情书
你用沉默尘封我的思念
风的手指弯曲着 穿过时间的墙
时间在风中漂泊 如冰天雪地里散落的月光与花朵
美国大学数学考试老师基本上都不（敢）出证明题，只让学生套公式算（如求导），还得
把要用的公式列在后面。我接触了好几位上课的老师，的确如此。美国学生不喜欢死记公
式，我感觉也不那么学习至上。我不清楚他们是否连乘法口诀也不要求记。大家想想，如
果美国大学生数学真普遍好，为何丘大师老喜欢招中国学生？不过有的地方我赞成美国的
做法， 学生先不理epsilon-delta那一套，就象17、18世纪那样。数学系高年级的才学ep
silon-delta语言。国内让文科的也学epsilon-delta语言那一套，太过分了，对他们也没
用。美国数学水平高原因之一是全世界的数学精英都往美国跑。
中美大学数学比较（2）
任何事情都有利有弊。中国人“唯有读书高”的观念很重，父母及学生本人都重视学习。
中国学生的勤奋用功可谓世界第一， 美国人爱不爱读书是他自己的事，没那么大压力。老
师布置的homework如果不要交, 一般他们不做。奥数竞赛人家也不专门重视，谁爱参加就
参加；而中国把这看得很重，专门封闭培训，还事关国家荣誉。
又如：中国常有培养接班人、梯队之类的规划、项目或奖项， 美国不刻意搞这一套。中国
学生经过严格的数学训练后数学基础的确扎实，当然可能缺少自由想象的空间；美国学生
中学不学什么严格证明，但多学模型与实例。关于集合，他们中学只学概念与例子，不学
什么并与交等运算。美国学生不喜欢带字母的一般性题目，考试题得用具体数字。
中美大学数学比较（3）
关于教学，再补充一句。在美国大学任何老师上课前都得接受防性骚扰培训（美国法律有
规定，每两年得参加培训一次）。学生到老师办公室来，老师必须开着门，否则招惹来官
司可麻烦了。
学生成绩共有如下几种：
(1)A+, A, A-; (2)B+, B, B-; (3) C+, C, C-; (4) D+, D, D-; (5) F (fail); (6) I
(incomplete, 得重修或补考); (7) Pass (>=C), NonPass (插曲,,(我可记不起歌词了,那
好象是90年代的歌吧).在这旧时的歌声中我又有了时空错乱的感觉,仿佛回到了八十、九十
年代. 10年前在欧洲当我接触的一些华人唱着七、八十年代的歌并将观念仍停留在他们出
国前的时代时，我首次有时间倒流的感觉。我的房东也回国兼职了，有时我放VCD听歌轻松
,可那些碟片太老了，老是歌唱紫荆花开、喜迎Hong Kong回归。当时的一些歌手如唱《大
中国》的高枫早已不在了。说到空间的错乱，02年我在台北街道上走时感觉象在天津（我
认为台北比不上南京、上海、北京），坐捷运（即地铁）时仿佛在香港。96年在Genova时
非常喜欢那气派雄伟的九月街，整整8年后我又访Genova大学，重新漫步在那九月街上也有
时空错乱的感觉。Z教授临回国前在网上碰到“粉丝”一词问我什么意思，国内变化真快，
一年内就创造出什么“超女”、“粉丝(fans)”等新词汇。等我回国时不知又落伍多少了
，好在这些并非数学词汇。
中美数学比较（6）
看到同学们对本科教育的热烈讨论，这儿我也谈谈对中美数学教育差别的思考。前面我已
列举了若干体现美国本科教育风格的例子。我赞同杨老的分析，中国教育偏重训导，美国
注重启发。中国的学生学得深，难题做得多，所以基础很扎实；但这样的代价是没时间多
学点新东西。美国的学生学的东西没那么深（可谓浅尝即止），但好处在于可多学点，面
宽得多。记得初中时我做过大量的平面几何难题（如什么九点共圆啊），其实没这个必要
，适当做一些训练训练逻辑思维就可以了。大学的数学分析，中国受前苏联的影响非常大
，厚厚的吉米多维奇习题集与那六大本解答耗费了学生大量的时间。如果日后你是研究分
析或用大量分析的数学家（例如田老师），那样做对以后的确很有帮助；如果你以后研究
代数，分析上钻得太深就没太大必要（当然考虑到学科的交叉，不懂也是不行的）。类似
地，如果你以后做分析，本科做大量的代数难题也没必要；但你得懂代数基本的东西，因
为有时要用到（象拓扑群）。美国那样多学点但学得不深，好处在于需要时你可自学深入
下去。而象中国那样，个别课程钻得深，许多新兴的东西没机会学，完全不懂的自学起来
可没那么容易。
这种教育理念上的差别导致中国可出陈景润这样的专家，难出Wiles那样涉及好多知识的大
家。Z教授常说中国数学家就象玩杂技的,多数只在某一方面玩得很精。换句话说，就是难
得有高屋建瓴式的大师级人物出现。中美教育方式各有利弊；中国方式的优点在奥数竞赛
上体现得淋漓尽致，美国方式的长处则有利于出知识面宽广的数学大师。
我觉得把文科的数学等同于淡化了的数学分析是不妥的。文科人连工程计算都不用做，你
为何让他学曲率、多重积分之类。我认为文科的应主要学数学发展史中的重要思想，主要
去理解数学是怎样的一门学科，没必要花力气去弄懂一些深奥定理的证明。
以上个人观点未必正确，欢迎批评指正。
中美数学比较（7）
国内有各式各样的年终总结。X老师要我们总结过去一年的工作，C老师要我提交过去两年
的论文目录，W老师则要我们列出过去三年的SCI论文并附首页。为了这我忙了好一阵子。
疲惫之余还是续写我的中美数学比较来放松放松。
当你们即将放寒假时，这儿冬季学期就要开学了。Z教授是国内某大学紫江学者,现已回来
了; W教授明天也将从北京返回, 因为6号就要上课了。我今天专程去看了下应坐120个学生
的教室，大吃一惊。教室几乎等于在地下室，阴暗又有霉味。没有我上学期用的可移动的
多块组合白版， 更没有RH教学楼那里的投影仪等设备，只有破旧的长长的黑版。这使我想
起去过MIT的南开人说那里办公条件未必比他们的中心好。回来后跟Z教授一说,他说美国就
这样，中国教育理念与美国的似乎相反,重硬件轻软件不少高校往往宁愿把大把的钱砸在盖
楼房上,也不愿多花在“看不见”的图书期刊等软件上, 好象有点“好大喜功”啊（看来杨
福家的分析还是有道理的）。的确，近年来中国教育的硬件已相当不错了。与美国大学相
比，8年前我在母校南师附中做报告时他们那里的教室都用实物（如书）投影了，而在我那
苏北县中做报告时更是用上了闭路电视。
与Z教授说起我对中美数学教育差别的认识,他非常赞同我的分析。他说中国从小学到大学
学的东西都太深太细，太有技巧性；他在国内花了3个小时才做完05年高考数学考卷，他说
题出那么难那么有技巧性有什么意思啊。中国学生会做难题是因为他在题海战术中长大，
他见过类似的解法，与创新性几乎毫无关系。他也说正因为美国学生学得浅才有机会多学
不同课程，才会知识面宽广。
有人也许觉得这Z教授不咋样，非也！此君与也曾大红大紫的肖刚教授是第一代回国的科学
明星，当时的报纸、电台、电视常宣传他们，也曾受过当时的总书记的接见，陈大师也曾
力邀其加盟早期的南开数学所。我那老兄一听名字就说大学时代就常在报纸上看到他的名
字，曾是其偶像呢。那搞代数几何（实际上是搞3维复几何）的一代红人肖刚，我们系主任
、书记、丁帅肯定都知道；可惜肖早已远离科研，在法国一心做起数学普及的软件了。
Z教授说他尽管呆在美国已十几年，仍然“水土不服”。每次从国内回来，都慨叹国内现在
太好了，真不想回美国了。那这些海外学者又为什么不真的彻底回国呢？这个我以后再做
分析。
中美数学比较（8）
肖教授离开数学研究已有十多年。作为80年代中国数学界耀眼夺目的新星，他为何做出这
样的选择？当时与肖齐名的Z教授说是因为他已意识到其学问已达顶峰，再不激流勇退就得
走下坡路了。
与服务员一样，可以说数学家也是吃青春饭的。数学创新研究是一项高强度的工作，它需
要你的勤奋刻苦，更需要你的智慧、才气与敏锐性。数学家最好的工作几乎都是在青壮年
时做出的。Galois， Abel，Eisenstein， Riemann， Ramanujan等人的英年早逝并不影响
他们成为杰出的数学家。在我国，陈景润在条件艰苦的1966年（那年他是33岁）做出著名
的Chen s theorem（充分大的偶数可表成一个素数加上至多两个素数的乘积）；后来他成
名了，改革开放后工作条件也好多了，可他再未做出可与上述成果比美的工作。华老的大
部分好工作是在他回国前做的。Gauss, 陈省身， Hardy等数学大师们到老年仍坚持数学研
究着实令人敬佩,可他们的代表性重大成果基本上是在青壮年时做的; 君不见伟大的数学家
G. H. Hardy晚年苦于数学创造力的衰弱而一度想自杀（从Ramanujan传记《知无涯者》上
看来的）。数学界最重要的Fields奖只奖给40岁以下的自有它的道理。 Z教授说，正是基
于这样的认识，美国科学基金会一般注重资助活跃的青壮年数学家，许多有名的老数学家
很难拿到基金（在中国有时会论资排辈）。当然，每个人（包括我）都在逐渐变老。对搞
数学的人来说，真的是“少壮不努力，老大徒伤悲”。既搞数学就要有自信心，就要有“
天降大任于斯人”的豪情，更要从大学时代起就踏实奋斗！过了创造力黄金时期的数学家能坚持
研究当然仍要鼓励（随着时间的推移，他们积累的知识与经验无疑也越来越丰富），但培
养好年轻一代也是他们迫切的任务。西方的学术研究环境是很吸引人的，在中国有时学术
外的杂事干扰太多，出过国的人都知道在国外做研究效率很高。
美国加州气候环境真是好极了。这儿几乎可以说四季如春，我来后只见过一场雨（还是小
雨）。这大学所处的环境酷似中山陵，那么多的树加上不高的山， 整个象公园。Z教授回
到大上海，看到车水马龙，空气污染严重，自然不肯离开这公园般的加州住所。加州位于
美国西海岸，是美国最富的一个州。这里的气候条件吸引了许多一流人才来加州，我所在
的这个大学数学系去年就从Stanford挖来个大牌教授（搞椭圆曲线的）。不过，Z教授与W
教授提醒我不要老是夜里1点后走山路回去，因为山上曾发现过豹子、狼、天狗（我不知是
什么）。我基本上很晚从office回去，忙时甚至是夜里3、4点钟才回，只有一次有点危险
，有3只野狗从独行的我身边狂奔而去（它们好象未注意到我，也许在赶一个“紧急会议”
）。
与现在在加州相比，05年初我在法国访问时气候条件恶劣，几乎每天都得顶着大雨大雪骑
着自行车一个多小时从住处赶往Jordan研究所，晚上12点后回去还曾遇上拦车的酒鬼。当
我从欧洲返回上海，在那炎热拥挤的火车站，晚上要排队近一小时才能买到第二天回南京
的火车票。排队时我真的很烦闷，在欧洲火车票几乎随时可买到（很少碰到排长队的情形
）[基本不需提前买]。我只能叹息一声，中国人多没办法啊。类似这样的情况使得逗留在
国外多年的人回国长住就不太习惯了，当然这只是海外学者不能彻底回国的原因之一。
中美数学比较（9）
看了《美国的教育是“非常成功”的》一文， 不知各位有何感想。该文作者的分析有点偏
激，但陈述的一些事实从侧面验证了杨老说法的可靠性（杨与国内高校无过节，没必要不
客观），也说明了我以前对美国学生学习态度与水平的抱怨有一定道理。我一直奇怪为何
大部分美国大学生对数学证明毫无感觉。最近我才弄明白，他们从小学到大学基本上不学
严格证明；数学系高年级才开一门课叫"How to prove", 讲一些基本的证明技巧（如数学
归纳法等）。上学期我讲离散中许多证明真的是不了解他们的国情，大错特错也，难怪学
生考得那么差；其他老师几乎从不给证明，即使书上有也跳过。Z教授对我说，美国从小学
到大学，基本都在“骗”学生，让他们看看例子觉得有点道理就行了，不需也不能教严格
证明。当我们初中或小学学习圆面积公式S=pi*r^2时我们并不知如何去证，中国训练逻辑
思维与数学推理起始于初二的平面几何。美国学生的作业不是强制性的，要尊重他们的自
由与人权；老师也不该叫XX学生上黑板做题，那会侵犯人家不会做题的隐私，有让人出丑
之嫌。为了贯彻Z教授所说的这种“骗”，美国老师还发明了"pratical examination"；
这可叫做模拟考试，可真实考试必须与它相差不多（否则美国学生可能会告你的状）。这
个quarter的积分课程，学生已要求搞那pratical exam了。
我现在也想通了，就要象清华那位老兄临走前忠告我的那样，把他们当作小学生。他们不
习惯求和号Sigma, 不懂数学归纳法，不会抽象思维，不知道1+2+...+n=n(n+1)/2 与(x-1
)(x^{n-1}+...+x+1)=x^n-1等基本公式。听说有的竟问老师: "你上次说2x+3是函数,怎么
这次又说3x-5是函数,究竟哪个对?" 尽管基础差水平低是普遍现象，但据说个别尖子生在
中学就自学完大学数学课程。
关于美国大学生数学水平的现状，我已说得够多了，不想再罗嗦了。中美两种教育模式可
谓各有优缺点，中国的模式有利于大多数学生，能借鉴美国部分教育理念就更好了。
中美数学比较（10）
前面谈的大多涉及美国本科生数学水平。最近我从学生中发展了个“内线”（香港籍的）
，他告诉我许多美国同学的实际情况。他说，大部分同学不理会instructor(主讲老师)布
置的homework; 美国学生相当一部分很懒的,上午十点前的课许多人不来(在寝室睡觉),就
是下午的课到课率也难达到75%以上。[这个quarter原本安排我在8点上课，后来有老师要
求与我调换上课时间，所以我的课就在下午上了，幸好如此。] 这位香港籍的同学主动对
我说，中国学生的用功绝对世界第一。好了，以后我不再谈本科生的问题了。
也许有人认为这个大学太差了，我在的这个大学在美国前50名之列。人家有好几位Nobel奖
获得者而中国却一个也没有；就数学而言，人家几乎每次有两人在国际数学家大会上做45
分钟以上大会报告而整个中国在06年的数学家大会上只有我们的系友陈志明研究员（在计
算所）一人受到邀请做45分钟报告。对比一下可知中美大学水准的差距了。4月份我去MIT
及Wisconsin Univ.访问时也会留意这种差距。
说到研究生，的确中国好多大学生都朝思暮想来美国读博士。美国人很看重推荐信，读研
、找工作、升职称、争取奖项等都如此；中国人对待推荐信比较随便，常常是学生写好老
师签个名，其实这不太好。我系许多老师每年都被学生们找写推荐信，对成绩好的老师当
然乐意推荐也希望他们出去为南大争光；几年前有位同学找我写推荐信，我见其成绩只是
中下等不愿写，可她说“成绩不代表能力，成绩不好也不是我愿意的啊？”她磨了一个多
小时甚至着急地哭了，我心一软也只好答应写，唉！收到offer来美后并不代表已是博士生
，你还得用一段时间看书准备博士资格考试，一般考三门课。这儿考的课程是近世代数、
实变函数、复变函数。第一次通不过，你得想法考第二次。看到有的学生建议不把近代与
实变作必修，这可不利于要出国的同学们。在成为正式的研究生前为了生存糊口，可选择
做grade(评分改本子）。上次中秋节南大人聚会时一位刚来不久的同学就抱怨这儿生活费
太贵，她还没做TA的资格挣点补贴，全靠家里节省寄来费用，挺辛酸的。正式的博士生要
做TA(teaching assistant)必须通过英语（特别是口语）测试。上个quarter我的TA是个香
港籍的博士生，这次是个美国女博士。加州的房价很贵，每月的单间房租依条件一般在50
0-800美元间浮动。研究生不做TA生活就很窘迫。
来美后有几句英语挺常用的。（1）How are you doing ? （中国教的是How do you do）
刚来时我还觉得"How are you doing?"是这儿方言呢，可去年10月底去West Georgia开会
后才知道美国都这么说。（2）Set an appointment. 美国凡事都得事前做个约定，你不宜
直接去office找人家，应发个邮件联系约定好见面会谈时间。美国喜欢提前安排好事情，
刚开学就有学生问我期末考试时间；4月份的讨论班学术报告1月份就要计划好。 （3）Gr
ade on curve.任何上课的老师（包括TA）都得知道这个，学生第一次课就关心最后怎么g
rade.如果你没反映过来或听不懂这行话，你这老师大概要被轰走了。这儿有好几位中国来
的研究生，据我所知及Z教授所言他们水平比较一般。有位女博士生已读了4、5年了还做不
出一个值得发表的结果， 一天她对我说：“我觉得自己已很聪明了，怎么就写不出论文？
”我笑了笑，无言以对。她参加基督教会，教会的人对她说每天多做祷告就会来灵感。美
国基督教会势力很大，他们对违背圣经的达尔文进化论大加批判，现在有的州迫于教会的
压力在中小学课本中塞进“智慧设计论”[大自然的物种及其奥妙必定来源于（上帝的）智
慧设计]。
这儿能发表论文的博士生很少。美国人才济济，竞争激烈；只有少数真正拔尖的数学博士
生毕业后才会找到理想的工作， 对一般的博士来说去做博士后都是奢望。已够长的了，数
学研究只好以后再谈了。
中美数学比较（11）
今天是大年初一（在中国已是初二了）。昨晚我随W教授一家去20里外他们一朋友家参加了
由四家华人家庭组成的除夕聚会，显然在美的华人们依旧保持着中国过农历年的传统习俗
。出发前W教授夫妇告诉我前两天他们晚上走山路遇到了一只大黑熊和她的宝宝，双方对视
了好几分钟都不敢轻举妄动，最后黑熊顾及其宝宝的安全不得不黯然撤退。他们好心地再
次提醒我每次从系里回去不要太晚，因为还有mountain lion等动物也会在夜间出来舒展筋
骨，觅食填腹。看来，我得认真对待这一忠告了，毕竟安全第一啊。
昨天的华人聚会东道主的夫人是江苏连云港人，本科在南艺学钢琴。来聚会的还有G教授一
家三口及H教授一家四口。主人家大厅里电视机在播放CCTV9频道的春节联欢晚会（重播）
，这使我想起04年在罗马Schoof教授家看到的央视九台节目。那时Schoof教授（以椭圆曲
线理论中Schoof算法闻名的意大利数论学家）与其夫人（荷兰微分几何学家）原本在观看
欧洲杯荷兰队与葡萄牙队的足球半决赛；考虑到我来他家而且那是我在罗马的最后一天，
他们很体贴地调出了CCTV9的节目（英文字幕）并说喜欢中国这神秘的东方大国。
在夫人们忙于包饺子、做菜准备晚宴时，先生们在那里玩起了一种使用操纵杆的“足球”
比赛（352阵型）。G教授8岁的小女儿连蹦带跳地为其父亲加油： Daddy! Go! Go! You c
an do it! You can do it !! 看来她是个typical ABC (American born Chinese)了。
H教授是这个大学的医学教授,每年有四次左右回国兼职。这些常回国的海外学者及其夫人
们也谈到了国内一些不好的风气。10年前在Italy过春节时，我与几位当地中国留学生去了
一家名为“大鸿楼”的中餐馆。听说我从国内来，老板娘希望我给他儿子介绍个对象，我
说中国想出国的女的不少啊，可老板娘说：“不行啊，她们想出国以为到国外来享福，可
我们这儿比国内还忙还苦啊”。的确，这些华侨够苦的，你看连春节都不关门休息（西方
人不过中国的春节，所以这天生意不会特别好）。
宴会上大家谈起了海外华人回国的问题。据他们分析，许多愿意兼职不愿彻底回去可能有
以下原因：（1）觉得国内做学问的环境还不够好；（2）夫人们一般不愿意回国，也有说
为孩子未来发展作考虑。
我住在Z教授家。说起美国现在糟糕的初、高等数学教育，Z教授竟说是由中国文革引起的
。文革时毛主席号召“教育要革命，学制要缩短”（我记得读初中时课本第一页总是这条
语录），中国甚至出现因交白卷而上大学的张铁生们。那时Stanford一些激进的教授受此
影响极力倡导教育改革，课本上东西越来越简单、越来越容易，学生们从功课中解放出来
了。后来发觉效果不好，却无法改回去了，因为学生们喜欢改革后的松散、自由。
最近一些海外华人学者认为中国一些高校提短期内“创建世界一流大学”是不现实的,他们
还发帖讨论中国有最高学术头衔的人的平均水平相当于美国的什么层次。不管是海外学者
们清高狂傲还是中国研究水平有待提高（或者兼而有之），看了这些我心里真不是滋味。
。。
中美数学比较（12）
看今年的春节联欢晚会， 那“小崔说事”分明模仿几年前的“昨天、今天、明天”，哪有
什么创新？ 演小品的多年没新招儿，依然是不倒翁。唱流行歌曲的，一首成名曲能养多年
，名利双收。相比之下科学家们活得可不容易啊，他们必须创新，创新，再创新！攻关，
攻关，再攻关！
说到创新，这可与考试是两码事。基础扎实当然为科研准备了好的条件，但那不是你能科
研创新的充分条件。Z教授虽然做国内高考数学题要花三小时，可人家在他领域有两个原创
性的以他命名的东西（M-Z topology 与L-Z process)。 培养创新意识最好从大学时代就
抓起。
我本以为美国大学施行有利于创新的启发式教育，现在看来这儿本科数学教育的确有问题
。学生多数想偷懒，非数学系（或数学系低年级）学生的微积分课老师基本不讲证明更不
考有点灵活性的证明题；象我那样出考题属于另类了，一般老师只让学生套公式算还得附
上要用的公式， 这样是培养不出创新性人才的。当然美国老师这么做也有不得已的苦衷，
在美国上课老师有时要为安全担心啊。今天系主任就发邮件通知大家说期中考试后发生两
起大学生严重威胁数学老师的事，警方已介入调查；数年前我就听说过美国发生博士答辩
通不过后学生枪杀导师的案例。但是美国本科数学教育的这种方式迫使老师讲课要简明直
观、深入浅出，所以不管多深的课程美国许多老师的讲义可读性非常好，这对初学者来说
非常实用。相比之下，中国相当多的教材可谓晦涩难懂、拖泥带水，没能用最精练的语言
体现出该课的精髓；学习者花了许多时间精力却不得要领，这可能是中国许多数学工作者
知识面难以宽广的重要原因。
在我本科阶段，当时南大的一位有远见的副校长倡导创新，给少数选拔出的优秀本科生提
供科研条件，例如： 特许进入到系图书室借书查资料等。我是当年这项计划的受益者（尽
管我那时相当部分的研究成果后来在一些外文专著里找到了），内心里很是感激那位当时
的副校长。02年在台湾中研院数学所访问时，邀请我的研究员要我先讲讲我大学时做的成
果，看我惊讶的表情他解释说：“本科时查资料看文章肯定少于后来的，所以那时的想法
原创性高。”有时过多地跟踪文献资料，会让你学、用别人的方法，原创性就降低了。国
内讨论班常常是学生轮流报告书本上的东西；美国及欧洲的讨论班则是开放式的，一般邀
请外面的专家来做报告，没学者来时也是自己人报告新想法。
几年前南大教务处采取措施改革本科教学，老师不再只给个单纯的总成绩，需要给体现创
新能力的那部分分数；高年级的期中考试也可取消，代之以写点小论文类东西。我试着指
导学生做点创新，有个L姓同学表现出色，竟用我教的van der Waerden定理解决了一个专
著中提到的关于图着色的猜想。我很欣赏该学生，他成绩也很优秀；无奈南大不让他免试
读研，好象只因为英语未过六级。最后该学生去国防科大免试读研了， 我觉得有点糟蹋了
一个好苗子。南大的上述教学改革很快流于形式，因为学生太多了创新能力不太好考察，
更多的老师可能还是习惯传统的考试模式。结果这项改革导致的仅是上交给教务员平时、
期中、期末、总评四项成绩（以代替原来单一的总评成绩）。从事本系大学生教学这么多
年，发现了一个又一个做研究的好苗子，无奈他们多数选择出国，还有去北大、中科院读
研的，鲜有留在南大的。
数学发展到今天的地步，科研上竞争异常激烈。要么你才智过人，要么你勤奋用功，两者
都做不到就很难做出象样的成果了。现在的一些研究生基本功不扎实又不肯下功夫，怎么
做论文？哪有简单好做的，要有也被别人抢着做了。听说外校一位数学博导对来要课题的
研究生说：“你自己找。我能给你什么呢？我觉得能做的我就做了，我要不能做的你恐怕
也做不来。”Z教授说类似的话X教授（现在美国，以前是中国的科学院院士）也讲过，而
且他还多了一句：“我能做你也能做的课题我还看不上。”我觉得这话不那么科学，有时
下了功夫的学生也会搞出让导师吃惊的东西来。就数学研究而言，整个论文生产销售一条
龙都得由作者完成。你看，找课题得靠自己，研究开发要靠自己，产品完成后还得自己推
销发表。
其实数学研究策略与打仗的战略战术是相通的。有人主张做主流的超级难题，希冀象十月
革命、武昌起义那样一战成名；有人觉得强攻数学“大城市”不成，不如学学1的农村包围
城市之道；有人胸怀大志，熟读兵书，却如马谡般不能实战，眼高手低； 有人是将帅之才
，站得高望得远； 有人是踏实能干的战斗英雄；有人似张飞勇猛有余谋略不足；有人似诸
葛足智多谋；有人见好就收，绝不恋战；有人顽强拼搏、战斗不息，如孔明六出祁山、姜
维九发中原。
中美数学比较(13)
刚从网上提交了学生Math2B(积分学)成绩，在这里的教学任务也就彻底完成了。尽管我以
前说不愿再谈美国本科生情况与这儿的教学，可今天还是来谈最后一次。
与中国学生最大的不同是他们不怎么看教科书与老师笔记，即使课上反复讲的或复习课强
调的许多人也不理会。书上简单的例题或复习课上的题目考试照样不会，这令我十分纳闷
；要知道对中国大学生来说这样的事不太可能发生。我知道的在此的中国人、巴西人等普
遍抱怨美国一般大学生的数学水平。W教授曾对我说，你就是用现成的复习课上题目他们也
有不少不会做，你要改个数字不会的就更多了；同办公室的巴西人说，这些美国学生如果
每天用一小时看书就自认为“study hard”了。Z教授说，丘大师在加州大学圣迭亚戈分校
那么多年肯定未给本科生上过课，才会如此抬高美国本科生水平；Z教授甚至说加州大学的
研究生大概相当于国内名牌大学高年级本科生(我觉得这个说法有点夸张)。
我来举点具体的例子让大家对美国学生有些深刻的认识。这次期末考试题与模拟考试题极
其相似，可考得依然不理想。例如：求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的面积，居然有几乎半数人
不会；这是书上例题，课上也讲过，需用的square-root{a^2-x^2}的积分复习课上也讲了
（用三角代换或分部积分），我以为考试肯定没问题了。真没想到许多人甚至不会解出y=
(b/a)square-root{a^2-x^2}，有的说x^2+y^2=a^2+b^2(真的不会分数加法了)，有的说sq
uare-root{a^2-x^2}=a-x(连我们初中生都知道x^2-y^2 not =(x-y)^2)。改考卷过程中也
发现有人居然认为 (sin t)^2+(cos t)^2 (=1)开方后得sin t+cos t.连这些基本的东西都
不会,再容易的考卷对他们都难。模拟考试题中有道题用分部积分算(ln x)^2的积分,复习
课上也反复讲了这题; 真实考试时让算更容易的ln x积分居然许多人不会。我原以为这种
题等于送分，可他们。。。。下午一学生来看分数，他没通过（得F），眼睛红红的，说这
是他（计算机系的）第四次未通过此课考试了，问我“What can I do to improve the g
rade?”，我说“It s too late. You can do nothing.”[Z教授以前告诫我如果女生这么
问就有骚扰嫌疑了.] 我问他为何不看书连书上简单的例题也不会，他说书太难太枯燥(to
o dry)了，大家基本都不看。美国学生平均水平既如此，看来不怎么讲证明的教科书得换成更容
易的了。在成绩问题上总有一些美国学生要与你讨价还价，他得C可他说只有A才我知道冬
天的有用；全班最低分的非要说他是最用功的，所有课都来，所有作业都做，所有书上内
容都认真看了（分明在说谎，那怎么书上最简单的现成例题都不会?）。与这些学生打交道
仿佛要象生意场上那样谈判，在中国决不是这种情况。为什么平均水平会这样？Z教授说美
国没有中国那样的高考，他们讲究民主，进什么大学由你在中学时的成绩与排名来决定。
当然差的学校的前几名与好中学的前几名差别很大，但美国不管这个，所以有些大学生水
平真的很次。我这里给大家展示两个学生邮件, 看了后你们就会了解美国大学生的实际状
况。
先看成绩差的一个(也挺可怜的）来信：
“I am currently a fourth year in your math 2b class. I was wondering if you c
ould give me advice on what to do. I took math 2a my freshman year of college
and have not touched math until now. Because of this, I was completely lost th
is quarter. I had forgotten math 2a, trigonometry, and pre calculus（他说以前学
的极限、导数、三角函数甚至微积分预备知识都忘光了）. In order to try and do wel
l in this class, I took Larc (the on campus tutoring program) and I also hired
a tutor outside of school to help me with math 2a. On top of my heavy course
load and the extra tutoring, I had to have three jobs this quarter（还得打三份
工）. Because of all that I was doing, I did very poorly on the midterm and I
have not been scoring high on the quizzes. I assure you it has nothing to do w
ith me not trying hard or not liking math. I work hard and I have always loved
math.
Well, I was wondering if you think it is possible for me to pass this class, a
nd if not, I was wondering if you could give me a W (withdrawal) so that I may
retake this class next quarter. If I were to receive an F, I would have to re
take the class either way, but becuase I am a pre-medical student, and so much
of my chances of getting into medical school rely on my GPA, I would rather h
ave a W on my tranxxxxs than an F. Thank you for taking time to read
my email.”
再看一个考试得满分的好学生来信（邮件标题为I enjoyed your class）：
I am sending this mail to you because I am afraid I will not be able to
communicate this to you in person. I hope you understand this mail.
Hello, I am a student in your Math 2B Class this winter quarter. I heard you a
re going to return to China after only 1 year teaching here at UC Irvine. I do
n t know why you are returning but I surely hope that it isn t because you did
not enjoy the teaching here at Irvine. It s unfortunate that you will be leav
ing because I am sure that Irvine will lose a brilliant mathematician.
I would just like to say, that in High school I was enrolled in Calculus as we
ll and understood it well. I thought it was boring. When I was enrolled in you
r Math 2B class, many of the subjects you taught I already knew. I can say thi
s: I did not need to come to your class. But after the first few lectures, I s
aw that you lectured Math as an Art. After this I attended every lecture I cou
ld. You taught here at Irvine with more passion and fervor than any other teac
her I have been taught by in my life. Even that I knew the material you taught
, everytime I showed up to class and listened I learned something new.
Sometimes you would teach a shortcut or new method of doing math I never reali
zed. You broadened my knowledge and appreciation of math.
In this short mail, I simply want to say that your teaching impacted me and as
well as other students ( I m sure ). I know that your talent is beyond teachi
ng simple calculus and I m sure you would enjoy teaching upper level math here
at UC Irvine as well.
Overall I hope you enjoyed your stay here at UC Irvine, and learned something
from this experience. I learned many things in your class, and I hope you expe
rienced many new things teaching this class.
I thank you for teaching an inspiring, challenging, and innovative class.
Sincerely,
your student,
Lloyd
中美数学比较(14)--Wisconsin之旅
进入4月份，我也开始了我的回国前美国东行访问之旅。我访问的第一站是Wisconsin大学
Madison分校（最好的分校），时间为4月3至8日。机票2月份就买好了，对方也早为我订好
旅馆。3号早上5点乘一朋友的车奔向Orange County（Irvine所在的县）机场。先乘坐一小
飞机去Cincinnati,飞机驾驶员好象倔牛脾气,上升与下降动作极猛,无缓冲过程；下降过程
中飞机抖动得极为厉害，乘客如不紧抓住前排的座椅非摔倒不可。从Cincinnati转机到Ma
dison，虽然改乘一排只有3个座位的更小飞机，飞行却顺利得多。从Madison机场我乘Tax
i去订好的旅馆，沿途我看到了整洁素雅的Madison，长长的一条道两旁都是大学的机构或
饭店、商场之类。4月的Madison已很暖和，我知道冬天的Wisconsin可冷极了。
到达旅馆已是傍晚，我首先取出带来的手提电脑看是否好上网，无奈找不到网线插口。我
去问服务员，他说无线上网(没想到这旅馆还这么先进)。我搞了好一会还是不行，请他们
专人来帮忙；无奈人家说不懂中文（我电脑Window显示中文）cannot help. 后来我了解到
一楼大厅有网线插口, 这样需要上网查邮件时就把电脑搬下来用。
第二天上午Y教授开车接我去数学系，在系里也见到年仅38岁的很有名的数论学家Ken Ono
教授(American-born-Japanese). 他们系负责招收研究生的是个华人教授，他与我聊了一
会，问了我们每届学生的情况。Y教授还提到我们02级的某位被这儿录取却改去柯朗所了。
在系里办理有关手续时，才发现由于我的J1签证他们承担我的访问费用还要得到我所在的
UCI授权，Ono赶紧给UCI的International Center打电话要UCI授权, 可UCI说要得到UCI数
学系同意; 于是Y教授急忙给UCI的W教授发邮件让他要UCI外办放行。UCI外办效率极低，我
一周访问结束后他们居然还未给Madison发传真，再三催促下才终于发了。真没想到如此麻
烦！我后面还要去UIUC与MIT, 还得要UCI授权。据说美国这罗嗦的措施是911造成的。与Y
教授聊到美国大学数学教育，我提到学生怎么连椭圆面积也不会求。Y教授说，你怎么出这
么难的题目；他们连2/3+4/5都不太搞得清，怎么去理解椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1？Y教
授还说，象求复合函数ln(x+square-root{x^2+1})这些美国大学生多数不会。Wisconsin大
学的学生尚且如此,看来真如Y教授所说"他们只有极少数好的,大部分水平很臭". 我真的不
明白怎么会这样,一直想探究原因。Y教授说美国中学数学老师一般不是数学系毕业的，而
是教育系毕业的， 所以大部分学生中学数学就未学好。
4号的首场报告听众挺多的，他们在数论方面的教工、博士生、博士后真不少啊。 Askey院
士也来捧场了，我们系01级的tjw也来了。报告完后我与Askey院士、K. Ono教授及Y教授合
影留念，回来后发现照片上的我眼镜模糊不清，估计洗去手上粉笔灰时有水溅到眼镜上了
。晚上Y教授请我去饭店吃饭，也带上我的系友tjw； 大家吃得很好，tjw说从未来过这样
饭店吃这么好，看来他还是挺节俭的（在国外有时就得这样）。tjw已通过博士资格考试，
即将选导师，他说想学代数几何，真是有志青年啊！tjw也说美国学生不喜欢证明，老师只
要讲讲基本的idea就行了。
6号第二场报告后Ken Ono教授请我去印度饭店吃饭，伴随的还有他的一个学生，他的美国
太太与两个非常可爱的孩子（一儿一女）。我故意问Ono的只有7、8岁的小儿子：“Do yo
u know how great your father is ?”他点点头。我与K. Ono及Y教授都是首次见面，他
们对我研究的东西挺有兴趣，希望与我及W教授开展合作。Y教授一年内做了两次肾移植,
还坚持做数学研究。他说他不能倒下，不然妻子小孩没法生活了。他还负责成立了一个慈
善机构，专门资助安徽某县中小学贫困生。我很感动，当然也有所表示了。
8日我离开Madison经Atalanta转机回Irvine. 在Atlanta机场我咨询一工作人员时,那黑女
士(或女黑人)好奇地打量着我, 我说:"I m a Chinese." 没想到她接着说: "My grandfat
her is also a Chinese." 在机场商店柜台转悠时想看看有什么小礼品好买(如有Atlanta
建筑标志的精美钥匙链), 结果总是发现"Made in China". 中国真的是世界加工厂了。
要知University of Wisconsin at Madison是什么样子, 我只好附上照片一张。不过放在
这里不合适，去我的blog中同样题目的文后找吧。这个有点象流水帐。本想也记下Illino
is之旅经历的趣事与见闻，可一次写那么多太花时间了。
中美数学比较（15）--Illinois大学与中国的数论
Wisconsin之行结束后我立即筹备对UIUC与MIT的访问。我通知这两校，因J1签证之故我要
准备好UCI的授权信。UIUC的Ford教授与MIT的Stanley院士很快用传真发来书面邀请信，我
拿着这两份传真去面见UCI数学系系主任； 系主任看了传真觉得他们能邀请我去访问是好
事，立即授意其秘书起草授权信，并亲笔签字。(UIUC说由系主任签字的授权信就够了,我
很高兴可不经过那效率低下的International Center.)
我早知道华罗庚教授50年归国前在UIUC (Univ. of Illinois at Urbana-Champaign)任教
。无疑我想看看我国杰出数学家华罗庚教授当年工作过的地方，所以我的UIUC之行有特别
的意义。
出发前一天收到02级fy哥哥fxd(我系95级的,我教过; 他与其同学hz都在UIUC统计系)的邮
件。他问我需不需要在机场搭他们的车，并热情地说他与H同学要请我吃饭。我告诉他，F
ord教授要去机场接我，我到达旅馆后有空时会与他们联系。
4月12日凌晨，南大电子系出来多年的一老师爱人热心地用车把我送往机场。（在Irvine公
交车极少见，叫出租车要提前几天预约，凌晨那么早未必有出租车愿意来，所以自己没车
真是麻烦透了。）下午在Chicago机场转乘小飞机去Urbana-Champaign（这是我坐过的最小
客机了）。
Ford教授接到我后送我去紧靠数学系大楼的旅馆，安顿好后他说今晚Bruce Berndt教授要
请我吃饭。我与Ford及Berndt都未见过面，第一次看到Ford的名字是在他1999年发表于An
nals of Math.的文章上,他出人意料地利用陈景润定理彻底解决了有几十年历史的Sierpi
nski猜想(对每个k>1都有n使得恰有k个正整数的Euler函数值为n); 这是陈氏定理的绝妙应
用,陈景润地下有知的话无疑会为他的深刻定理多年后再次焕发光辉感到欣慰。
Berndt教授早就是数论界名人了，他是International Journal of Number Theory的主编
，5卷本（Springer出版， 我系资料室有）的作者。大家可去其主页http://www.math.ui
uc.edu/~berndt/看看，他已发表了174篇学术论文、9本书，还编辑了11本书。他开车来后
， 问我想吃什么饭，要去什么样的饭店；我当然说随意了，由他决定。结果他带我去一家
泰国餐馆。吃饭期间我们讨论起数学，就在桌上铺的白纸（不是布）上写了起来。当我说
起美国大学生数学考试很少出证明题而中国的情况刚好相反时, Berndt教授很惊讶并说他
要告诉他的美国学生中国学生多么用功。
提起华罗庚，Berndt教授说当年Springer出版社派专人来找H. Halberstam教授讨论《华罗
庚论文选集》出版事宜时，Halberstam提到Berndt在研究Ramanujan（印度传奇数学家，被
Hardy发现并邀请到剑桥，但33岁就英年早逝，留下了数本谜一样的数学笔记本，包含大量
新奇的公式却无证明）遗留的笔记本；Springer遂对此表现出极大的兴趣，动员Berndt教
授在Springer出版其关于Ramanujan笔记本的系列书籍。Ramanujan今天名扬天下，无疑Ha
rdy当年发现他并在其去世后极力宣扬他功不可没（我记得Hardy曾说过如果就原创性给数
学家打分的话，Ramanujan得100分，Hilbert得70份，他Hardy大概只能得30分），近十年
来Ramanujan的影响如日中天,Berndt出版更是将Ramanujan的声望推向高潮。
13日中午Berndt与Ford教授带我去学校食堂吃了顿西餐。饭后赶到数学系，我的报告时间
（1点开始）马上就到了。一进那讨论班教室，发现已来了不少人，还有多位老先生。报告
完后有两位老教授与我交谈，Ford介绍说他们是H. Halberstam与P. Bateman. 我大吃一惊
，这两位数论专家可大名鼎鼎，他们是华罗庚教授当年的老同事、老朋友。我读过许多介
绍赞美华罗庚与陈景润的评语，不少出自这两位前辈之口。
看看以下用google搜来的文字吧：
“由H．哈贝斯坦(Halberstam)主编的《华罗庚论文选集》在1983年由施普林格出版计出版
。”
“1986年，H. Halberstan在悼念华罗庚的文章中有这样一段话。"如果华罗庚曾经懊悔在
他才华的高峰和思想敏锐的时候离开了美国的话，那么他后来重访西方时，他不能收回失
落的时光，而他对自己祖国的献身是无条件的和坚定不移的"。”
“华罗庚是本世纪最富传奇性的数学家之一．将他与另一位自学成才的印度天才数学家S．
A．拉马努金(Ramanujan)相比较，正如P．贝特曼(Bateman)所说，“两人主要都是自学成
才的，都得益于在哈代领导之下，在英国从事过一段时间的研究工作．……．他们之间又
有截然不同之处．首先，拉马努金并没有全部完成由一个自学天才到一个成熟的、训练有
素的数学家的转变，他在某种程度上保留了数学的原始性，甚至保留了一定程度的猜谜性
质．然而华罗庚在其早期数学生涯中，就已是居主流地位的数学家了．其次，拉马努金与
哈代的接触更直接，更有决定性意义．……．虽然华罗庚在英国工作时得益甚大，但他与
哈代在数学方面的接触显然不是这样特别集中的”．”
“1973年，陈景润在《中国科学》上正式全文发表了他的著名论文“大偶数表为一个素数
及不超过两个素数和乘积之和”。这一辉煌成就立即在国内外数学界引起了强烈的反响。
英国数学家哈伯斯坦(H．Halberstam)和德国数学家里切特(H．Richet)合著的数论著作《
筛法》当时正在排印，他们见到陈景润的论文后，立即增补了最后一章“陈氏定理”，并
称“陈氏定理是筛法理论的光辉顶点”。”
由此大家看到Halberstam与Bateman教授对中国数论的贡献是巨大的, 是他们热情讴歌了中
国解析数论的成就,是他们首次提出了陈氏定理的命名! UIUC数论有几十年的传统了,这里
有十多位数论教授,也培养了大量的数论人才； Ford教授就是Halberstam教授的高足，他
近年来对我研究过的覆盖课题很有兴趣。UIUC与中国数论有割不断的联系。Halberstam(7
9岁)与 Bateman (84岁)两位老教授均已退休,还赶来听我这后辈小生的报告并说我有许多
新思想, 我真的很感动。我与这两位数论老前辈合影留念，他们还坚持要我站在中间，说
我是客人（我真的很不好意思）。
我这次来访是UIUC数论组邀请的。他们的组合与逻辑也很强，象与Noga Alon多次合作的组
合学家Z. Furedi教授已发表了203篇论文。难怪该校排名很前啊，人家的确强大！13日下
午我去UIUC数学系图书馆看了看，他们的资料非常齐全。13晚Ford教授邀请我去意大利餐
馆吃饭。我看他数次陪我太辛苦，就说14日中饭及14日下午去机场不麻烦你了，我打算与
我的两位中国学生在一起。13晚收拾好行李后突然发现电视上反复说14日有特大风暴，不
由得担心起我14日2点多能否乘飞机回去。深夜，我起来出外察看天气，电闪雷鸣下起了雨
。
第二天早雨停了，还出了太阳。我去校园看看想拍几张照片，见一建筑很别致，就向最近
的一个学生走去。我说：“Would you please take a picture for me?” 那在石凳上读
书的美女学生把for听成了with, 一边说着“With me?”一边微笑着往我身旁一站；我看她
误会了，赶忙递过相机，她这才明白过来。
14日11点天空又乌云密布了，F同学与H同学如约而来，他们说预报要起龙卷风了，担心飞
机走不了。他们热情地带我去名为“唐王朝”的中餐馆吃午饭，饭后又送我上机场；10年
前我教过他们，这两位性格相当好，待我如此热情我很感激。
在很小的Champaign机场，我那飞往Chicago的航班延误了一个多小时，因为Chicago天气不
好。起飞后不久我从窗口发现乌云太密运动也太快，驾驶员后来选择了超低空飞行总算平
安抵达Chicago机场。等待从Chicago到Irvine的飞机时我扫描了一下我的同机Irvine"老乡
"，觉得他们长相较一般的美国人奇特粗壮。到达Irvine机场时已是晚上9点多Irvine正在
下雨。以前机场出租车等人，这次竟是人等出租车。排在我前面的一中年妇女带着10岁左
右的女儿，还有两大箱行李。我说："Her (指那小女孩) father should come." 那妇女回
我说:"Her father has a new wife!"
回到UCI后Berndt来邮件说,他们那儿已起龙卷风,不得不躲进地下室。真庆幸我离开得好及
时啊。最后附上与数论界老前辈、华罗庚教授老朋友Halberstam（左）和 Bateman（右）
教授的合影。
中美数学比较（16）--在MIT走近Stanley与邂逅Green
从UIUC归来后下面就是去访问MIT. 面对4月份我的三次出访，我周围的中国人（了解我的
W教授与Z教授除外）多有质疑之声：在这儿华人英语角，一来自清华的女学者问：“他们
为什么请你去访问？”UCI数学系一华人访问学者说“请你去干吗？”就连好心送我上机场
的人也问“是你同学请你的吧？”我懒得当面回答这些无聊的问题，小平同志早就教导我
们：“发展是硬道理”其实我在国外第一次受邀去别的大学做报告发生在1996年。那时我
在意大利Trento大学进修访问，我素不相识的解析数论专家、Genova大学教授A. Perelli
（大数学家E. Bombieri的高足）突然发来邮件邀请我去他那儿访问几天并给个学术报告。
我惊讶地问他怎么知道我在意大利，他说他从数论界著名学者A. Granville教授（那时在
美国，与我合作过文）那儿得知的。2004年重访欧洲时短短40天我访问了分别在意大利的
Roma, Firenze（佛罗伦萨），Genova与奥地利的Graz, Vienna(维也纳）的5所大学，除了
Perelli教授那儿是故地重游外其它邀请方的教授们（有搞数论的也有搞组合的）我都未见
过。再来看看我4月在美的这三次访问实际上是怎么回事。Wisconsin大学的R. Askey院士
在04年就听说我要到美国来， 04年10月还在南京的我收到了Wisconsin大学的访问邀请，
我回答说估计05年才去美国；05年初还在法国里昂时又收到他们的邀请，我说可能5月后才去美
国。05年7月我再次收到Wisconsin大学的邀请：“I would again like to invite you t
o visit Madison and give a number theory seminar sometimes this Fall. 。。。
Thanks a lot for your consideration, and I look forward to seeing you here thi
s Fall”，我说那就安排在我10月底去West Georgia开会后吧。后来9月开学我被UCI安排
上课，走不掉了我就给Wisconsin去信表示抱歉；他们与我商定将我的访问推迟到我的所有
课结束之后的4月份。Wisconsin大学数学系对我的诚恳邀请令我很感动，他们与我见面后
说我在科研上“very active”.[去年10月在West Georgia大学开会时著名（离散）数学家
R.L. Graham院士（曾做过美国数学会主席，是Paul Erdos的好友，夫人也是院士）见到我
的第一句话就是“You are very active”,这句过奖的话使我觉得以前的辛勤努力真的没
有白费。] UIUC之行源于Ford教授发来的下述邮件：“I would be glad to invite you
to give a talk at our Number Theory seminar. Our seminars are at 1:00 on Tuesd
ays and Thursdays. We can pay all of your expenses, including air travel.I am
interested in your work on covering congruences and related topics.”MIT的邀请
来自著名的组合学家R. P. Stanley院士，他在给我的邮件中说“I have looked at many
of your papers on the arXiv,......”
Stanley院士（1944年生）是著名组合学家， 1971年在Harvard大学Gian-Carlo Rota院士
的指导下获得博士学位。[Rota院士创立过著名的半序集上Mobius反演理论,也是著名的Ad
vances in Mathematics创刊人.] Stanley院士是Rota学生中成就最大的, 已发表140篇论
文，培养出40多名组合博士（他们许多也已成名，是美国组合界的骨干），其两卷本《组
合计数》是经典的名著,据Math. Reiviews引用情况数据库他的论著已被1294个作者引用了
2118次。他于1995年被选为美国国家科学院院士，获得过2001年的Steele奖、2003年的Sc
hock奖，今年将在西班牙召开的国际数学家大会上做一小时大会报告。著名组合学家D.Ze
ilberger在其网页上称Stanley院士是“代数组合教父（The `Godfather of the Algebr
aic Combinatorics Mafia）”、“许多杰出组合学家的师傅或师爷（Academic Fatheran
d Grandfather of so many brilliant combinatorialists）”。
UC Irvine数学系的人（包括搞统计的或分析的）基本都知道Stanley的大名，对Stanley邀
请我去MIT访问并给个seminar talk有人觉得不可思议。当我问MIT为我订的旅馆地址时，
4月9日Stanley院士回复说他将去机场接我并把我送到旅馆（“I can pick you up at th
e airport on April 20 and bring you to your hotel”）；他这个大名人如此对我这小
辈令我十分感动，我觉得让他来接终究不妥，出发前夕我发邮件说不用接了我自己打的去
旅馆。
有了前两次转机的经历，20日去Boston顺利多了。加州濒临Pacific,在美国的西海岸, 现
在夏令时时间是北京时间减15小时，飞机到中部的Chicago时手表要拨快2小时, 由Chicag
o飞到东部的Boston（濒临Atlantic,在美国的东海岸）时手表要再拨快1小时。在往Bosto
n的同班飞机上有一群Japanese小girl（大概是初中生），我问坐在我旁边的日本小女孩“
Do you know Nanjing city in China?” 她说不知道（显然她们的历史书未提南京大屠杀
）[03年在日本福岗开会时发现那儿的大学生也不知道南京]，于是我再没兴趣与她讲话了
。一出Boston机场,就感受到大城市的气息。那拥挤的交通与密集的建筑使我想到了上海。
好久没有见过喧闹的大都市了，Irvine就象风景宜人的山区疗养院，Madison与Urbana-Ch
ampaign则是生活便利的小城。
我所住的那Kendall旅馆挺别致的。21日吃早餐时碰到来美国开会的两位上海交大的女老师
。22日离店时我才了解到每天住宿费高达184美元，再加上23美元的税，就有207美元了。
虽然是MIT为我付这笔费用，我还是对住宿费之贵感到吃惊[我在Madison及Urbana-Champa
ign的旅馆住宿费分别是每天63美元、92美元，04年在意大利佛罗伦萨与罗马的住宿费分别
为每天80欧元、70欧元]。
21日上午风和日丽，我由旅馆步行去久闻大名的MIT（很近的），边在校园里走边照相，几
次碰到中国来的学生（不过都是女的）。MIT的主楼气派雄伟,不过我不知道为何在大门上
校名中字母u都被刻成了v. 11点左右终于找到数学系（在2号楼）了,在寻找Stanley院士在
3楼的办公室时赫然发现大数学家I. M. Singer(以Atiya-Singer指标定理闻名, 上届Abel
大奖获得者)的办公室。找到Stanley院士后他带我找数学系秘书办理了有关手续，然后就
主动热情地带我参观校园。在中国象他这样的名人、院士通常是很powerful的,恐怕很少会
陪后生小辈参观；这就是美国教授的亲切可敬之处，Stanley院士真的和蔼可亲、毫无子。
回来后与Z教授说起此事，他不赞同我的观点，说Stanley对我那么好是因为我是来自中国
的客人，换了在美国的年轻教授情况就大不一样了。在校园里我与Stanley院士拍了数张合
影，之后他带我去买午餐。下午2点他还有课（国情不同，中国的院士们还上课的就少见了
），于是我就逗留在数学系公共休息室及以去世的Rota院士命名的数学期刊阅览室。
我的报告安排在下午4：30-5：30。由于Stanley是组合学家，擅长代数组合，我在此报告
的内容就离数论远点，有组合与代数混合的味道。此前在Univ. of Wisconsin at Madiso
n与UIUC的三个报告主要听众是搞数论的, 我就选择了离代数远点的三个不同的数论话题,
在Wisconsin的主报告涉及我来美后做的与psi算子及代数拓扑有关的组合数论工作, 在UI
UC则谈论我的涉及解析估计与Gamma函数的数论工作(因为听众中搞解析数论的居多)。快4
点时MIT一搞组合的老师Postnikov与我聊起来，我说我的研究一般还带有数论味。他居然
知道我与同胞兄弟92年的一项较好的工作，他还说Ben Green教授现在在MIT访问。一听著
名的数论学家Green在此我立即来了精神，Postnikov带我去见Green, 可他不在办公室。于
是我们去3楼休息室喝茶，Green教授正在那里！Postnikov把我介绍给Green, 一提我名字
Green马上说"I know, I know!" 搞得Postnikov还以为我俩本来就认识。我想Green知道我
大概是他见过我关于受限和集的文章，他与Terence Tao用解析方法研究和集，我与我的合
作者则象Noga Alon那样用代数方法研究和集。当然我比他与Tao差得太远了。
现在来介绍一下数学新星Ben Green其人。他是英国人，生于1977年，在98年Fields奖获得
者William Timothy Gowers指导下取得剑桥大学博士学位。在03年他与天才青年数学家Te
rance Tao（75年生，华裔）合作将解析数论、遍历理论与组合相结合一举证明了著名的E
rdos-Turan猜想（素数序列包含任意长的等差子序列）而名震数学界，该深刻结果现在被
命名为Green-Tao定理。Green在04年获得著名的Clay研究奖，05年获得Salem奖，今年将在
国际数学家大会上作45分钟邀请报告。
认识Green后我与他在其办公室聊了会数学，他对我的一个猜想感兴趣。我们准备合影时我
到门外正碰上一个小伙子；他帮我们照张相后，Green对这小伙子（估计是正来找他的研究
生）介绍了我（This is ...）。令我非常惊讶的是Green对我名字的发音非常准（一般老
外读中国人名字挺别扭的）.很快我的报告时间到了,我说我得走了。听报告的有Stanley院
士和他的学生，还有几个未选导师的低年级研究生。报告开始不久，没想到Green也跑来听
讲了。报告结束后Green说了个“Nice talk”，其实要早知道他在MIT我就不讲这涉及群论
过多的课题而改讲他最有兴趣的和集问题了。顺便说一句，Green还没女朋友呢。
我与Green道别后随Stanley及他的一个博士后与两个女研究生（其中一位来自北大）去了
一家非洲饭店。Stanley院士请我们吃非洲饭，这是我第一次品尝非洲饭。非洲饭菜放在铺
有薄饼的一个大盘子里，我们每人自己碟子里只有薄到一抓易破的薄薄面饼皮。没有刀叉
或筷子，必须拿手用撕下的一小块薄饼皮去抓裹菜吃（这比用筷子夹难度大多了），自己
的面皮用完后就得用大盘子里菜下的面皮。我觉得挺麻烦的，面皮又薄又小，手都搞脏了
。
我问那北大来的女生，你在这儿的中国同学都来自什么高校。她说“北大、清华，还有科
大”。Z教授以前告诉我Harvard与MIT只收北大、清华来的中国学生。晚餐后已是9点多了
，与Stanley院士道别回旅馆后我又出来在街道上随便走走看看Boston的夜景。刚收拾好行
李准备休息时，突然听到电视上说22日下午起Boston将连降几天大雨。我返程的飞机应在
12：55飞往Denver,然后由Denver转机回Irvine. 行程都是两个月前定好的，再迟到下午就
走不掉了。第二天9点多钟我打了电话给出租车公司，没想到仅一分钟车就来了（Boston的
交通比Irvine方便多了，还有地铁）。出租车司机是个挺唠叨的50多岁的老师傅，问了我
基本情况后他就唠叨个不停（还手舞足蹈）：“Oh! My God! Mathematical doctor! Ame
rican students can only use calculator, but most of the calculatorsare made in
China! Oh! My God! Mathematical doctor! ......”很快就到了机场，我给了他25美元
车费另加两块小费。由于太早，前面11：06去Denver的航班尚未走，那航班在机场的工作
人员力劝我乘这早点的航班（同是United airline),我想了下也就决定早走（担心很快会
下雨）；在Denver我又调整了航班,乘比预定提前2个多小时的另一航班回到了Irvine. 三
次出行,每次都要转机；前后12次起降，总算一切顺利。至此我也圆满结束了我的出访之旅。最
后附上与Stanley院士在MIT大门口的合影及与Green在他办公室的合影。（效果不好，请见
谅。）
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我是AlpS山脉的王
我站在Mont.Blanc峰顶虔诚地向你下跪
玫瑰，Cupid金箭，带着血液温暖的象形文字的情书
你用沉默尘封我的思念
风的手指弯曲着 穿过时间的墙
时间在风中漂泊 如冰天雪地里散落的月光与花朵
2008年9月4日星期四
也谈中国的数学
数学研究的最高标准是创造性：要达到前人未到的境界，要找着最深刻的关键。
从另一点看，数学的范围，是无垠的。我愿借此机会介绍一下科学出版社从俄文翻
译的《数学百科全书》，全书5大卷，每卷约千页。中国能出版这样的巨著,即是翻译，
也是一项可喜的在就。这是一部十分完备的百科全书，值得赞扬的。
对着如此的学问大海，入门必须领导，便需要权威性的学校和研究所。数学是活的，
不断有杰出的贡献，令人赞赏佩服。但一个国家，比较可以集中某些方面，不必完
全赶时髦。当年芬兰的复变函数论，波兰的纯粹数学，都是专精一门而有成就的例子。
中国应该发展实力较强的方面。但由百科全书的例子，可看出中国的数学是全面的。
这是一个可喜的现象。
中国的财富在“人民”。中国的数学政策，除了鼓励尖端的研究以外，应该用来提高
一般的数学水平。我有两个建议：(1)设立数学讲座，待遇从优，其资格可能是对数学
发展有重大贡献的人；(2)设立新的数学中心，似乎成都，西安，广州都是可能的地点。
中心应有相当的经费，部分可由地方负担，或私人筹措。
近年因为国家开放，年轻人都想经商赚钱，当然国家社会需要这样的人。但是做科学的
乐趣是一般不能理解的。在科学上做了基本的贡献，有历史的意义。我想对于许多人，
这是一项了不得的成就。在岗位上专心学问，提携后进，“得天下之英才而教育之“，
应该是十分愉快的事情。
一个实际的问题，是个人应否读数学。Hardy 说，一个条件是看你是否比老师强。这
也许太强一些。我想学习应不觉困难，读名著能很快与作者联系，都是测验。数学是小
科学，可以关起门来做。在一个多面竞争的社会中，是一项有优点的职业，即使你有若
干能力。
中国的数学有相当水平。年来政治多变，达此情况，足风中华民族的勤劳本质。从前
一个数学家的最高标准，是从国外名大学获得博士学位。我们国家现在所包需做的，
是充实各大学的研究院，充实博士学位，人才由自己训练。
致谢 本文承葛墨林，陈永川教授帮助整理，特此致谢。
应该是十分愉快的事情。
一个实际的问题，是个人应否读数学。Hardy 说，一个条件是看你是否比老师强。这
也许太强一些。我想学习应不觉困难，读名著能很快与作者联系，都是测验。数学是小
科学，可以关起门来做。在一个多面竞争的社会中，是一项有优点的职业，即使你有若
干能力。
中国的数学有相当水平。年来政治多变，达此情况，足风中华民族的勤劳本质。从前
一个数学家的最高标准，是从国外名大学获得博士学位。我们国家现在所包需做的，
是充实各大学的研究院，充实博士学位，人才由自己训练。
从另一点看，数学的范围，是无垠的。我愿借此机会介绍一下科学出版社从俄文翻
译的《数学百科全书》，全书5大卷，每卷约千页。中国能出版这样的巨著,即是翻译，
也是一项可喜的在就。这是一部十分完备的百科全书，值得赞扬的。
对着如此的学问大海，入门必须领导，便需要权威性的学校和研究所。数学是活的，
不断有杰出的贡献，令人赞赏佩服。但一个国家，比较可以集中某些方面，不必完
全赶时髦。当年芬兰的复变函数论，波兰的纯粹数学，都是专精一门而有成就的例子。
中国应该发展实力较强的方面。但由百科全书的例子，可看出中国的数学是全面的。
这是一个可喜的现象。
中国的财富在“人民”。中国的数学政策，除了鼓励尖端的研究以外，应该用来提高
一般的数学水平。我有两个建议：(1)设立数学讲座，待遇从优，其资格可能是对数学
发展有重大贡献的人；(2)设立新的数学中心，似乎成都，西安，广州都是可能的地点。
中心应有相当的经费，部分可由地方负担，或私人筹措。
近年因为国家开放，年轻人都想经商赚钱，当然国家社会需要这样的人。但是做科学的
乐趣是一般不能理解的。在科学上做了基本的贡献，有历史的意义。我想对于许多人，
这是一项了不得的成就。在岗位上专心学问，提携后进，“得天下之英才而教育之“，
应该是十分愉快的事情。
一个实际的问题，是个人应否读数学。Hardy 说，一个条件是看你是否比老师强。这
也许太强一些。我想学习应不觉困难，读名著能很快与作者联系，都是测验。数学是小
科学，可以关起门来做。在一个多面竞争的社会中，是一项有优点的职业，即使你有若
干能力。
中国的数学有相当水平。年来政治多变，达此情况，足风中华民族的勤劳本质。从前
一个数学家的最高标准，是从国外名大学获得博士学位。我们国家现在所包需做的，
是充实各大学的研究院，充实博士学位，人才由自己训练。
致谢 本文承葛墨林，陈永川教授帮助整理，特此致谢。
应该是十分愉快的事情。
一个实际的问题，是个人应否读数学。Hardy 说，一个条件是看你是否比老师强。这
也许太强一些。我想学习应不觉困难，读名著能很快与作者联系，都是测验。数学是小
科学，可以关起门来做。在一个多面竞争的社会中，是一项有优点的职业，即使你有若
干能力。
中国的数学有相当水平。年来政治多变，达此情况，足风中华民族的勤劳本质。从前
一个数学家的最高标准，是从国外名大学获得博士学位。我们国家现在所包需做的，
是充实各大学的研究院，充实博士学位，人才由自己训练。
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